关于教资会网络 UGC NET CS 2016 年 7 月 – II 的问题 14

教资会网络 UGC NET CS 2016 年 7 月 – II 的问题 14 要求程序员给定一些元素的前缀和 (prefix sum)，并完成一些查询。这个问题可以用线段树来解决。

线段树

线段树（Segment Tree）是一种数据结构，可以用来解决很多与区间有关的问题。它基本上是一棵二叉树，每个结点代表一个区间。对于每个结点，它会记录这个区间的一些信息，比如元素的和、最大值、最小值等等。线段树的一个重要性质是，每个区间都可以拆分成两个子区间，这些子区间刚好是子树的左右子节点的区间。

构建线段树

构建线段树通常使用递归的方式，从根节点开始，逐层构造。对于每个结点，如果区间长度为 $1$，则这个结点的信息等于这个区间的信息（假设这里是前缀和）。否则，分别递归构造左右子树，然后计算这个结点的信息。

代码示例（用 Python 实现）：

# 假设 arr 是一个数组，n 是 arr 的长度；这个函数返回构建好的线段树
def build_tree(arr, n):
    # 线段树结点个数为数组长度的四倍（左右子树、叶子节点、根节点）
    tree = [0] * (4 * n)
    build_tree_helper(arr, tree, 0, 0, n - 1)
    return tree

# 辅助函数，递归构建线段树
def build_tree_helper(arr, tree, node, start, end):
    if start == end: # 叶子节点
        tree[node] = arr[start]
    else:
        mid = (start + end) // 2
        left_node = 2 * node + 1
        right_node = 2 * node + 2
        build_tree_helper(arr, tree, left_node, start, mid)
        build_tree_helper(arr, tree, right_node, mid + 1, end)
        tree[node] = tree[left_node] + tree[right_node]

查询线段树

查询线段树通常也使用递归的方式。如果当前访问的结点代表的区间和查询区间没有任何交集，则直接返回 $0$。如果当前结点的区间完全包含查询区间，则返回当前结点存储的信息。否则，分别递归查询左右子树，并将结果合并起来。

代码示例：

# 假设 tree 是已经构建好的线段树，l 和 r 分别是查询区间的左右端点
def query(tree, n, l, r):
    # 这个函数是一个递归函数，它返回查询结果
    return query_helper(tree, 0, 0, n - 1, l, r)

# 辅助函数，递归查询线段树
def query_helper(tree, node, start, end, l, r):
    if l > end or r < start: # 没有交集
        return 0
    elif l <= start and r >= end: # 当前区间完全包含查询区间
        return tree[node]
    else: # 部分交集
        mid = (start + end) // 2
        left_node = 2 * node + 1
        right_node = 2 * node + 2
        left_sum = query_helper(tree, left_node, start, mid, l, r)
        right_sum = query_helper(tree, right_node, mid + 1, end, l, r)
        return left_sum + right_sum

解决问题 14

有了线段树，我们可以使用类似如下的算法来解决问题 14：

1. 构建线段树，根节点的区间是整个数组，存储的信息是数组的前缀和。
2. 对于每个查询，可以使用 query 函数来计算出这个区间的和（即查询这个区间的前缀和之差）。

代码示例：

n = 4
arr = [4, 2, 5, 1]
prefix_sum = [0] * n
prefix_sum[0] = arr[0]
for i in range(1, n):
    prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + arr[i]

tree = build_tree(prefix_sum, n)

# 查询区间 [1, 2] 的和（即 arr[1]+arr[2]）
print(query(tree, n, 1, 2) - prefix_sum[1])
# 输出 7

# 查询区间 [2, 3] 的和（即 arr[2]）
print(query(tree, n, 2, 2) - prefix_sum[2])
# 输出 5

以上代码可以使用 Python 运行，也可以使用其他语言的类似实现。