UGC NET CS 2016 年 8 月 – II |问题 8

该题是一道关于DAG的问题，考察了DAG的深度优先遍历（DFS）和拓扑排序算法。

问题描述

给定一个有向无环图（DAG）和两个顶点u和v，编写一个算法来计算有多少条u到v的路径。

解题思路

为了计算u到v之间的路径数，我们可以使用深度优先遍历算法遍历DAG并计算每个节点的入度和出度。然后，我们可以使用拓扑排序算法，按照拓扑序列的逆序计算u到v之间的路径数。

深度优先遍历

深度优先遍历是一种递归算法。我们从起点节点开始遍历，遍历各个子节点，直到到达一个无法展开的节点。然后回溯到最近的未访问的节点，继续遍历。重复该过程，直到遍历完整个图。

以下是深度优先遍历的伪代码：

procedure DFS(u)
    visited[u] = true
    for each v in Adj[u]
        if visited[v] == false
            DFS(v)

拓扑排序

拓扑排序是一种算法，用于将有向无环图中的所有节点排序，使每个节点在排序中出现的位置都在其所有后继节点之前。通过拓扑排序，我们可以将DAG转换为有序列表。

以下是拓扑排序的伪代码：

procedure TopologicalSort()
    L = Empty list that will contain the sorted elements
    S = Set of all nodes with no incoming edges
    while S is non-empty do
        remove a node n from S
        add n to tail of L
        for each node m with an edge e from n to m do
            remove edge e from the graph
            if m has no other incoming edges then
                insert m into S
    if graph has edges then
        return error (graph has at least one cycle)
    else 
        return L (a topologically sorted order)

代码实现

以下是Java代码实现，假设图的邻接表表示存储在adjList中：

public int countPaths(int u, int v, List<Integer>[] adjList) {
    int[] indegree = new int[adjList.length];
    boolean[] visited = new boolean[adjList.length];
    for (int i = 0; i < adjList.length; i++) {
        for (int j : adjList[i]) {
            indegree[j]++;
        }
    }
    int count = 0;
    visited[v] = true;
    Stack<Integer> stack = new Stack<>(Arrays.asList(v));
    while (!stack.isEmpty()) {
        int node = stack.pop();
        for (int adj : adjList[node]) {
            if (!visited[adj]) {
                visited[adj] = true;
                stack.push(adj);
            }
            if (adj == u) {
                count++;
            }
            if (--indegree[adj] == 0) {
                stack.push(adj);
            }
        }
    }
    return count;
}

在该代码中，我们首先计算每个节点的入度并初始化visited为false。然后，我们从v节点开始深度优先遍历，并在访问到u节点时计算路径数。在遍历的同时，我们通过入度计算顺序并使用拓扑排序算法计算所有节点的顺序。最后，我们从v节点开始深度优先遍历来计算路径数。

总结

本题是一道关于DAG的题目，考察了深度优先遍历和拓扑排序算法的使用。不仅需要熟悉算法知识，更需要在实现过程中注意计算的顺序和遍历的方式。在实践中可以适当使用栈和队列等数据结构来辅助计算。