门 | GATE CS 1996 | 问题20

这是GATE计算机科学1996年的问题20。以下是问题的完整内容：

给定输入电缆的逻辑表达式，用最少数量的NAND门替换电缆图中的所有输入和中间门。

例如，对于以下逻辑表达式：

(A.B) + C

以下是电缆图：

     +----+
A ---|    |
     |    +-----+
B ---| NAND|     |
     +----|     |
          +-----+
            |
C ----------+

可以使用两个NAND门进行优化：

         +-----+
A ------|     |
        | NAND|------+
        |     |      |
B ------|     |NAND  |
         +-----|     |
               +-----+
                 |
C ---------------+

如果您能正确解决问题，那么您对NAND门的理解就很好了。

什么是NAND门?

NAND门是一种可以用来实现计算机电路的逻辑门。它将两个或多个输入操作数NAND在一起。NAND门有两个输入和一个输出。当其中一个输入为0时，输出为1，否则输出为0。以下是一个NAND门的真值表：

输入1   输入2   输出
  0       0      1
  0       1      1
  1       0      1
  1       1      0

如何优化电路？

对于问题20，我们需要将尽可能多的门替换为NAND门，以达到最小化门数量的目的。为了优化电路，我们可以使用以下规则：

• 将输入门转换为NAND门（输入不需要优化）。
• 使用DeMorgan的定律将AND门和OR门转换为NAND门。
• 使用双重否定定律将NOT门转换为NAND门。
• 使用结合律和分配律将输入和中间NAND门合并为更复杂的NAND门。

适当地使用这些规则，我们可以很容易地将电路优化为最小的NAND门数量。

代码片段

以下是实现上述规则的Python函数，用于优化电路为NAND门的最小数量：

def optimize_circuit(inputs, gates):
    num_gates = len(gates)
    
    # 逐一检查门是否可以用NAND门来替换
    for i in range(num_gates):
        # 尝试使用DeMorgan的定律将AND门或OR门替换为NAND门
        if gates[i][0] == 'AND':
            # 如果所有输入都为1，则输出为0，因此我们需要在NAND中使用反向输入。
            new_gate = ('NAND', [('-'+x) if x[0]=='I' else x for x in gates[i][1]], '-out'+str(i))
            # 使用新门替换原门
            gates[i] = new_gate
        elif gates[i][0] == 'OR':
            # 如果任何一个输入为1，则输出为1，因此我们使用正常输入来实现NAND门。
            new_gate = ('NAND', [x if x[0]=='I' else '-'+x for x in gates[i][1]], '-out'+str(i))
            # 使用新门替换原门
            gates[i] = new_gate
        elif gates[i][0] == 'NOT':
            # NOT门只有一个输入，因此我们只需在NAND中使用一个输入。
            new_gate = ('NAND', [gates[i][1], gates[i][1]], '-out'+str(i))
            # 使用新门替换原门
            gates[i] = new_gate
    
    # 合并输入和中间门为更复杂的NAND门（分布律和结合律）
    while True:
        # 创建一个空闲输入列表。将删除用于合并的输入。
        free_inputs = list(inputs)
        
        for i in range(num_gates):
            # 仅处理NAND门
            if gates[i][0] != 'NAND':
                continue
            
            # 仅在有两个输入时使用分配律。
            if len(gates[i][1]) != 2:
                continue
            
            # 查找其他门是否具有相同的输入
            for j in range(i+1, num_gates):
                # 跳过其他NAND门
                if gates[j][0] != 'NAND':
                    continue
                
                # 尝试使用分配律将两个NAND门组合为一个
                new_inputs = []
                for input_name in gates[i][1]:
                    # 如果输入在另一个NAND门中找到，则将其添加到新输入中，否则从空闲输入列表中删除。
                    if input_name in gates[j][1]:
                        new_inputs.append(input_name)
                    else:
                        free_inputs.remove(input_name)
                
                # 如果我们找到了新的输入，则添加新的NAND门并从原始门列表中删除原始门。
                if len(new_inputs) == 2 and free_inputs:
                    new_inputs += [free_inputs.pop()]
                    gates.append(('NAND', new_inputs, '-out'+str(len(gates))))
                    gates.remove(gates[i])
                    gates.remove(gates[j-1])
                    num_gates -= 1
                    break
            
            # 如果已经合并了一个门，则从头开始重新计算。
            if num_gates < len(gates):
                break
        
        # 如果没有进一步的合并，则完成。
        if num_gates == len(gates):
            break
    
    # 返回最终的NAND门列表
    return gates

这个函数接收一个输入列表（字符串）和一个门列表（元组）。可以使用以下代码调用该函数：

inputs = ['A', 'B', 'C']
gates = [('AND', ['A', 'B'], '-out0'), ('NOT', '-out0', '-out1'), ('NOT', 'C', '-out2'), ('AND', ['-out1', '-out2'], '-out3'), ('OR', ['-out3', '-out4'], '-out5')]
optimized_gates = optimize_circuit(inputs, gates)

以上代码将使用我们的优化函数将门列表转换为最小数量的NAND门，并将其存储在optimized_gates变量中。