具有自由度的卡方分布(卡方或$ {X ^ 2} $-分布)，k是k个独立标准正态随机变量的平方和的分布。它是统计中使用最广泛的概率分布之一。这是伽马分布的特例。

卡方分布被统计人员广泛用于计算以下内容：

• 使用样本标准偏差来估计正态分布的总体标准偏差的置信区间。

• 检查两个定性变量的两个分类标准的独立性。

• 检查类别变量之间的关系。

• 在基础分布为正态的情况下研究样本方差。

• 测试预期频率与观察频率之间的差异偏差。

• 进行卡方检验(拟合优度检验)。

概率密度函数

卡方分布的概率密度函数为：

式

哪里-

• $ {\ Gamma(\ frac {k} {2})} $ =具有针对整数参数k的闭合形式值的Gamma函数。

• $ {x} $ =随机变量。

• $ {k} $ =整数参数。

累积分布函数

卡方分布的累积分布函数为：

式

哪里-

• $ {\ gamma(s，t)} $ =较低的不完全伽马函数。

• $ {P(s，t)} $ =正则伽马函数。

• $ {x} $ =随机变量。

• $ {k} $ =整数参数。