学生的统计t分布

简介

学生的t分布（Student's t-distribution）是一种概率分布，适用于小样本或总体标准差未知的情形。t分布的形状取决于自由度（degree of freedom, df）的大小。t分布在统计学中有着广泛的应用，特别是在小样本的假设检验中。本文将介绍t分布的定义、性质、应用以及如何在Python中使用。

定义

假设$X$是一个服从标准正态分布$N(0, 1)$的随机变量，$Y$是一个服从卡方分布$\chi^2(n)$的随机变量，且$X$与$Y$相互独立，则$t = \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}$服从自由度为$n$的t分布。

性质

t分布的期望为0，方差为$\frac{n}{n-2}$，当$n$趋近于无穷大时，t分布趋近于标准正态分布$N(0, 1)$。当n较小时，t分布比标准正态分布更广泛，且分布的峰稍微低一些、尾部稍微平缓一些，这是因为样本方差$s^2$与总体方差$\sigma^2$之间的差别导致的。

应用

t分布的最常见应用就是小样本的t检验，用于检验两个样本的均值是否有显著差异。除此之外，t分布也在估计总体均值、构造置信区间以及回归分析中得到广泛应用。

在Python中使用

在Python中可以使用scipy库中的t函数来计算t分布的概率密度函数、累积分布函数以及反函数。以下是示例代码：

from scipy.stats import t

# 自由度为10的t分布的概率密度函数
t.pdf(x, df=10)

# 自由度为10的t分布的累积分布函数
t.cdf(x, df=10)

# 自由度为10的t分布的反函数
t.ppf(q, df=10)

其中参数x表示自变量，df表示自由度，q表示累积分布概率值。