门| GATE-CS-2003 | 第56章

简介

本章是以 GATE-CS-2003 考试的题目为主题的，主要涉及于关于门电路的知识。门电路是数字电路的基本单元，用于控制、处理和存储数字数据。此章将介绍常用的门电路，以及它们的操作和应用。此外，还会探讨门电路的代数表示方法，并说明如何将逻辑电路转化为代数形式。

常见的门电路

与门（AND）

与门是最基本的门电路之一，它要求所有输入都是高电平，输出才为高电平。下面是与门的真值表：

| A | B | 输出 | |---|---|------| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 |

与门的代数表达式为： $C = A \cdot B$，其中 $\cdot$ 表示逻辑乘法。

或门（OR）

或门也是最基本的门电路之一，它要求至少有一个输入是高电平，输出才为高电平。下面是或门的真值表：

| A | B | 输出 | |---|---|------| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 |

或门的代数表达式为： $C = A + B$，其中 $+$ 表示逻辑加法。

非门（NOT）

非门只有一个输入，它的输出与输入相反。下面是非门的真值表：

| A | 输出 | |---|------| | 0 | 1 | | 1 | 0 |

非门的代数表达式为： $C = \overline{A}$ 或 $C = A'$，其中 $\overline{A}$ 或 $A'$ 表示逻辑非。

与非门（NAND）

与非门要求所有输入都是高电平，输出才为低电平。下面是与非门的真值表：

| A | B | 输出 | |---|---|------| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 |

与非门的代数表达式为： $C = \overline{A \cdot B}$ 或 $C = (A \cdot B)'$。

或非门（NOR）

或非门要求所有输入都是低电平，输出才为高电平。下面是或非门的真值表：

| A | B | 输出 | |---|---|------| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 |

或非门的代数表达式为： $C = \overline{A + B}$ 或 $C = (A + B)'$。

利用门电路实现逻辑功能

利用上述基本门电路，可以实现各种逻辑功能，例如：

与非门实现或门

与非门的输出与与门的输出相反，因此将两个与非门级联连接，就可以实现或门。如下图所示：

      +---+       +---+
A ----| & |----+--| ! |
      +---+    |  +---+
              |
B -----------+

或非门实现与门

或非门的输出与或门的输出相反，因此将两个或非门级联连接，就可以实现与门。如下图所示：

      +----+       +----+
A ----| ~ |-------| ~ |
      +----+    |  +----+
              |
B ------------+

门电路的代数表示方法

另一种描述门电路的方法是代数表示，也就是用代数表达式表示门电路的操作。现在我们举一个例子，说明如何将逻辑电路转化为代数形式。

下面是一个基本逻辑电路，它的输出为：

     +----+
A ---|    |
     | &  |--- C
B ---|____|

要将此电路转化为代数形式，需要找出它的逻辑表达式，然后将其转化为代数表达式。显然，这个电路可以表示为：

$C = A \cdot B$

现在要将该表达式转化为代数表达式，我们需要用到代数运算定理：

1. 同一律：$X + 0 = X$ 和 $X \cdot 1 = X$；
2. 零元素：$X + 1 = 1$ 和 $X \cdot 0 = 0$；
3. 分配律：$X \cdot (Y + Z) = X \cdot Y + X \cdot Z$ 和 $X + Y \cdot Z = (X + Y) \cdot (X + Z)$；
4. 恒等律：$X + \overline{X} = 1$ 和 $X \cdot \overline{X} = 0$；
5. 反演律：$\overline{\overline{X}} = X$ 和 $\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$。

利用这些定理，我们可以将表达式 $C = A \cdot B$ 转化为代数表达式：

$C = A \cdot B + 0 \cdot \overline{A} \cdot \overline{B} = A \cdot B$。

换句话说，这个逻辑电路可以用代数表达式 $C = A \cdot B$ 表示。

结论

本章介绍了门电路的基本知识，包括与门、或门、非门、与非门和或非门等常用门电路，以及利用门电路实现逻辑功能和代数表示方法。通过本章的学习，读者可以深刻理解门电路的实现原理和运作方式，进一步提高数字电路的设计和分析能力。