题目介绍：GATE-CS-2002 第40题

本题是GATE-CS-2002的编程题目，要求求出一个字符串的所有子串并判断其中有多少个是回文的。

输入格式

输入的字符串长度不超过1000个字符，只包含小写字母。

输出格式

输出一个整数，表示该字符串中回文子串的数量。

解题思路

本题可以采用动态规划的思想来解决。首先，假设已经求得了所有长度小于等于k的字符串是否为回文。现在来求所有长度为k+1的字符串是否为回文。

要判断一个长度为k+1的字符串是否为回文，只需要判断它的左右两端是否相同，且它去掉两端以后的字符串是否为回文。因此，可以利用已经求出的结果，从后往前进行处理。

代码如下：

def count_palindromes(s):
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    count = 0
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True
        count += 1
    for i in range(n-1):
        if s[i] == s[i+1]:
            dp[i][i+1] = True
            count += 1
    for l in range(3, n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            if s[i] == s[j] and dp[i+1][j-1]:
                dp[i][j] = True
                count += 1
    return count

其中，dp[i][j]表示以i为起点、j为终点的子串是否为回文。初始时，当i=j时，dp[i][j]为True；当i=j-1时，若s[i]=s[j]，则dp[i][j]为True。然后，从长度为3的子串开始，依次处理长度为4、5、6…直到n的所有子串。

这种方法的时间复杂度是$O(n^2)$，空间复杂度是$O(n^2)$。当然，还有更加高效的做法，这里不再赘述。

总结

本题考查动态规划算法的运用。掌握动态规划算法的思想，可以帮助程序员更好地解决一些复杂的问题。此外，在实现动态规划算法时，还需要考虑如何优化时间、空间复杂度。