门 | GATE-CS-2009 | 问题 24

本题考察了哈希表和最短路径算法的综合应用。题目描述如下：

有 $n$ 个门，每一个门通过一个非负整数值表示。同时，我们有一个哈希表，里面包含 $m$ 个键值对，每个键值对由一个字符串和一个非负整数值表示。现在，你需要从门 $0$ 出发，经过哈希表中的任意一对键值，最后到达门 $n-1$。经过一对键值对 $(s, v)$ 表示到达任意一个值为 $v$ 的门之前，需要先到达一个命名为 $s$ 的键值对。我们可以重复经过同一个门或同一个键值对。请你设计一个时间复杂度为 $O(m^2+n)$ 的算法，计算从门 $0$ 到门 $n-1$ 的最短路径长度。

解题思路

首先，我们需要解决一个问题：如何求出经过一对键值对 $(s, v)$ 后，最短路径长度？由于存在多个键值对，我们需要对每一个键值对分别进行求解，因此需要使用哈希表存储键值对，并对其进行快速查找。接着，我们可以使用 Dijkstra 算法求解从门 $0$ 到门 $n-1$ 的最短路径长度，该算法的时间复杂度为 $O(m^2)$。具体方法为，对于每一个键值对 $(s, v)$，将图中所有值为 $v$ 的门与 $s$ 相连，边权为该门与到门 $0$ 的距离。这样构造出来的图中，每一条路径就相当于经过了一对键值对。接着，就可以使用 Dijkstra 算法求解从门 $0$ 到门 $n-1$ 的最短路径了。

代码实现

from collections import defaultdict
import heapq

def shortest_path(n, m, gates, hashtable):
    # 构造图
    graph = defaultdict(list)
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            graph[i].append((j, gates[j] - gates[i]))
            graph[j].append((i, gates[i] - gates[j]))
    for k, v in hashtable.items():
        for u in range(n):
            if gates[u] == v:
                graph[u].append((k, 0))
    
    # 运用 Dijkstra 算法求解最短路径
    distances = [float('inf')] * n
    distances[0] = 0
    pq = [(0, 0)]
    while pq:
        dist, node = heapq.heappop(pq)
        if dist > distances[node]:
            continue
        for neighbor, weight in graph[node]:
            if distances[neighbor] > distances[node] + weight:
                distances[neighbor] = distances[node] + weight
                heapq.heappush(pq, (distances[neighbor], neighbor))
    return distances[n - 1]

总结

本题考察的是哈希表和最短路径算法的综合应用，需要能够熟练地使用 Dijkstra 算法来求解最短路径。在实现时，需要注意 Dijkstra 算法的细节，如使用优先队列来加速计算、以及去重等操作。同时，也需要对哈希表的查询性能有一定了解，以保证程序的时间复杂度符合要求。