GATE-CS-2017（套装1）第 40 题

这是GATE-CS-2017（套装1）中的第40道题目。该题目考查了计算机科学中的图论相关知识。

题目描述

给定一个有向图$G=(V,E)$，其中每个节点$v \in V$都有一个内在的价值$w_v$，目标是在不超过给定总预算$B$的情况下，找到一棵$\textit{Steiner}$树，其中所有包含了预算中所有节点的最小子集的树都是$\textit{Steiner}$树。该问题也被称为$\textit{node-weighted Steiner tree}$问题。

解题思路

该问题是一道典型的$\textit{NP-hard}$问题，可以使用近似算法解决。其中最常用的一种近似算法是$\textit{Steiner}$树近似算法，也称为$\textit{Dreyfus-Wagner}$算法。

$\textbf{步骤:}$

1. 对于每个终点节点，令其成为一个新的子问题的根。首先计算出每个终点节点组成的单点树中的最小$\textit{Steiner}$树。
2. 从最小的子问题开始向上合并，每次加入一个新的节点将其与子图中现有节点所对应的最小$\textit{Steiner}$树和跨越连接到新节点的边的最短路径合并。最后合并到整个图。
3. 返回总的最小$\textit{Steiner}$树。

该算法在最坏情况下的近似比为$(2 - \frac{2}{k})$，其中$k$表示所用终点节点的个数。

参考资料

• https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem
• https://www.cs.cmu.edu/~anupamg/adv-approx/Scribe-SteinerTree.pdf