题目介绍

本题是门户网站 门|门 上的一道题目，题号为 CS 2010，是一道经典的计算几何题目。该题目要求编写程序，求解两个圆的交点。

题目分析

该题目涉及到计算几何的知识，需要一定的数学基础。考虑两个圆的交点，有以下几种情况：

1. 两个圆没有交点，即两个圆的距离大于它们的半径之和；
2. 两个圆有一个公共点，即两个圆的距离等于它们的半径之和；
3. 两个圆有两个公共点，即两个圆的距离小于它们的半径之和。

对于第一种情况，直接返回空集即可；对于第二种情况，求出公共点即可；对于第三种情况，需要求解两个交点。

解题思路

假设两个圆的圆心分别为 $(x1, y1)$ 和 $(x2, y2)$，半径分别为 $r1$ 和 $r2$。

对于前两种情况，可以使用以下的代码实现：

def find_intersection(x1, y1, r1, x2, y2, r2):
    d = ((x1-x2)**2 + (y1-y2)**2)**0.5 # 两圆心距离
    if d > r1+r2: # 两圆相离
        return set()
    elif d == r1+r2: # 两圆相切
        return {(x1+(x2-x1)*r1/d, y1+(y2-y1)*r1/d)}

对于第三种情况，我们需要解一个二元二次方程组：

(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r1^2
(x - x2)^2 + (y - y2)^2 = r2^2

将两个方程展开，得到：

x^2 - 2*x1*x + x1^2 + y^2 - 2*y1*y + y1^2 = r1^2
x^2 - 2*x2*x + x2^2 + y^2 - 2*y2*y + y2^2 = r2^2

将两个方程相减，得到：

2*(x2 - x1)*x + 2*(y2 - y1)*y = r1^2 - r2^2 + x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2

然后将这个式子带入其中一个原始的方程，可以得到一个关于 $y$ 的一元二次方程：

a = (x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2
b = 2*(x2 - x1)*(x1**2 - x2**2 + y1**2 - y2**2) - 2*(y2 - y1)*(x1 - x2)*(y1 + y2)
c = (x1**2 - x2**2 + y1**2 - y2**2)**2 - a*(r1**2 - r2**2)

delta = b**2 - 4*a*c
if delta < 0: # 两圆不相交
    return set()
elif delta == 0: # 两圆相切，只有一个交点
    y = -b/(2*a)
    x = (r1**2 - (y - y1)**2)**0.5 + x1
    return {(x, y)}
else: # 两圆有两个交点
    y1 = (-b - delta**0.5)/(2*a)
    y2 = (-b + delta**0.5)/(2*a)
    x1 = (r1**2 - (y1 - y1)**2)**0.5 + x1
    x2 = (r1**2 - (y2 - y1)**2)**0.5 + x1
    return {(x1, y1), (x2, y2)}

总结

本题是一道经典的计算几何题目，要求读者对数学基础知识有一定的掌握。而且，考虑到计算精度的问题，对于一些特殊的情况，可能需要特殊处理。