门| GATE-CS-2015(模拟测试)|问题9

这是GATE-CS-2015年门试中的问题9。该问题考察了程序员对数据结构和算法的理解和应用能力。下面我将详细介绍这道题目及其解答。

题目描述

有 $n$ 个集装箱需要被运输。第 $i$ 个集装箱的重量为 $w_i$ ，第 $i$ 个集装箱的目的地为$ d_i$。运输公司规定：所有目的地相同的集装箱必须由同一单车运输。每辆单车的最大载重量为 $C$。现在，你需要设计一个算法处理这 $n$ 个集装箱的运输，使得最少的车辆被使用。注意，所有的集装箱必须被运输，而且不能超载。

解决方案

这个问题显然可以使用贪心算法来解决。我们可以先对每个集装箱按照目的地进行分类，然后对于每个目的地的集装箱，选择一辆载重量最大且当前未满载的单车进行装载，直到该单车装满为止。这样就得到了一组可行解。接下来我们需要证明，这个可行解是最优解。

我们可以采用归纳法证明这个贪心策略的最优性。假设已经有一组最优解，并且我们按照上述策略生成的可行解中有一辆单车 $T$ 装载了多个目的地的集装箱。由于 $T$ 是一辆最大载重量的单车，因此如果我们将 $T$ 中的集装箱依次移走，加入其他单车中，那么新的可行解肯定不会更劣。另一方面，由于 $T$ 装载了多个目的地的集装箱，因此这些集装箱的目的地之间必须存在一些集装箱，它们需要使用其他单车分别运送。否则，我们可以将这些集装箱全部装载到一辆单车中，使得该单车的运输方案更优。因此，我们可以通过将 $T$ 中的集装箱逐个移走来将这些集装箱划分成几组，使得每组中的集装箱拥有相同的目的地，且每组中的集装箱可以被一辆单车载运。这样，我们就得到了一组不存在一辆单车装载多个目的地的集装箱的可行解，它的运输单车数与最优解相同。因此原贪心策略的可行解就是最优解。

根据上述策略，我们可以设计一个时间复杂度为 $O(n\log n)$ 的算法。具体步骤如下：

1. 按目的地将集装箱进行分类，得到 $k$ 个目的地的集装箱列表，其中 $k$ 是目的地的个数；
2. 对于每个目的地的集装箱列表，按照重量从大到小进行排序；
3. 对于每个目的地的集装箱列表，依次将集装箱装载到能够承受其重量且未满载的单车中，直至所有集装箱都被装载完成。

下面是算法的Python代码实现：

class Container:
    def __init__(self, weight, destination):
        self.weight = weight
        self.destination = destination

def transport(containers, capacity):
    containers_by_dest = {}

    for c in containers:
        if c.destination not in containers_by_dest:
            containers_by_dest[c.destination] = []
        containers_by_dest[c.destination].append(c)

    required_trucks = 0

    for dest, containers in containers_by_dest.items():
        containers.sort(key=lambda c: -c.weight)
        current_truck_load = 0

        for c in containers:
            if current_truck_load + c.weight > capacity:
                required_trucks += 1
                current_truck_load = 0
            current_truck_load += c.weight

        if current_truck_load > 0:
            required_trucks += 1

    return required_trucks

其中，Container 是一个简单的类，用来表示集装箱的重量和目的地。参数 containers 是一个 Container 组成的列表， capacity 表示单车的最大载重。函数 transport 返回最少需要的单车数。

总结

本文介绍了 GATE-CS-2015 年门试中的问题9以及其解决方案。该问题可以用贪心算法来解决，时间复杂度为 $O(n\log n)$。如果您对此感兴趣，可以自行尝试不同的实现方法，或者探索一下如何将这个问题扩展到多个目的地，或在单车给定数量的情况下，如何通过最小化运输路程来优化解决方案。