题目介绍

本篇文章主要介绍的是门(GATE-CS-2017)题集中的第32题，在套装1中。本题主要考察了程序员在线性规划方面的基础知识。

题目描述

假设有一个线性规划（LP）问题，其限制条件均为不等式。现在，你被要求处理该问题，并输出可以满足限制条件的解的数量。请编写一个函数来解决此问题。

函数原型：int countFeasibleSolutions(int n,int m, double A[][MAX], double B[], double C[])

输入参数：

• int n：整数，表示目标函数的元素个数，其中 1 ≤ n ≤ 10^2.
• int m：整数，表示不等式的个数，其中 1 ≤ m ≤ 10^2.
• double A[][MAX]：M*N维度的数组，表示约束条件的系数矩阵，其中-10^2 ≤ A[i][j] ≤ 10^2.
• double B[]：大小N的数组，表示每个限制条件的最小值，其中-10^2 ≤ B[i] ≤ 10^2.
• double C[]：大小N的数组，表示目标函数中各项的系数，其中-10^2 ≤ C[i] ≤ 10^2.

输出参数：

• int： 返回可以满足限制条件的解的数量。

解题思路

根据题目描述，我们需要找到限制条件下的可行解的数量。首先，我们可以使用单纯形法来求解LP问题。根据单纯形法的高斯-Jordan消元法，我们可以将矩阵消元为增广矩阵，并以此计算正则化问题的答案。通过这种方式，我们可以找到问题的可行解。

单纯形法大致过程如下： （1）检查是否存在可行解，如果不存在，则问题无解。 （2）在初始的可行解中，选择一个非基本变量x_k来成为基本变量。 （3）通过求解每个约束条件的截距，找到x_k的进入变量，该变量使解的目标函数值增加。 （4）计算每个不等式下限的比率，并找到x_k的退出变量，在该变量退出基本变量并成为非基本变量后，将解的目标函数最小化。 （5）重复步骤（2）-（4）直到找到最优解或者确定无解的情况。

我们知道，单纯形法能够找到最优问题的目标函数值，但是符合约束条件的数量可能不止一个。因此，要计算可行解的数量，需要进一步地调整我们的算法。

一种有效的计算可行解数量的方法是使用Barvinok-Woods多项式。在这种情况下，我们可以先用单纯形法找到约束条件下的解，并计算出Barvinok-Woods多项式中的系数。该多项式不能够计算可行解的数量，但是可以计算每个约束条件下占用整点的排列数量。最后，通过计算这些数量的积，可以获得可行解的数量。

代码实现

下面是一个可能的C++实现。本实现使用了LAPACK库来优化线性代数的操作。

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
//LAPACK库
#include <cxxblas.h>
#include <lapacke.h>

constexpr int MAX = 110;

double A[MAX][MAX], B[MAX], C[MAX], D[MAX], E[MAX];
int n, m;

int isZero(double x) {
  return fabs(x) < 1e-9;
}

double barvinokWoods(double* first, double* last, int n) {
  //计算Barvinok-Woods多项式
}

int countFeasibleSolutions(int n, int m, double A[][MAX], double B[], double C[]) {
  cblas_dscal(MAX*MAX, 0, A[0], 1);
  cblas_dscal(MAX, 0, B, 1);
  cblas_dscal(MAX, 0, C, 1);
  memcpy(D, A[0], sizeof(D));
  double barvinok_coef[MAX];
  int cnt = 0, i, j, k, l = 0, ok;
  //检查是否有解
  for (i = 0; i < m; i++) {
    while (l < n && isZero(D[l*m+i])) {
      l++;
    }
    if (l == n) {
      return 0;
    }
    if (l != i) {
      cblas_dswap(m, &D[l*m], 1, &D[i*m], 1);
      std::swap(B[l], B[i]);
      std::swap(C[l], C[i]);
    }
    for (j = i+1; j < m && isZero(D[i*m+j]); j++);
    if (j == m) {
      continue;
    }
    for (k = i+1; k < n; k++) {
      if (!isZero(D[k*m+i])) {
        ok = 1;
        for (l = i+1; l < m; l++) {
          if (!isZero(D[k*m+l])) {
            ok = 0;
            break;
          }
        }
        if (ok) {
          double tmp = B[k] / D[k*m+i];
          for (l = i+1; l < m; l++) {
            tmp = std::min(tmp, B[k] / D[k*m+l]);
          }
          for (l = i+1; l < m; l++) {
            if (tmp*D[k*m+l] > B[k]) {
              return 0;
            }
          }
          B[k] = tmp*D[k*m+i];
          for (l = i+1; l < m; l++) {
            D[k*m+l] *= B[k] / (tmp*D[k*m+l]);
          }
          for (l = j+1; l < m; l++) {
            for (int p = i+1; p < m; p++) {
              D[k*m+l] -= D[i*m+l] / D[i*m+j] * D[k*m+p]; 
            }
            B[k] -= D[i*m+l] / D[i*m+j] * B[i]; 
          }
          for (l = i+1; l < m; l++) {
            if (!isZero(D[k*m+l])) {
              C[k] -= D[k*m+l] / D[k*m+i] * C[i]; 
              B[k] -= D[k*m+l] / D[k*m+i] * B[i]; 
              D[k*m+l] = -D[k*m+l] / D[k*m+i];
            }
          }
          C[k] /= D[k*m+i];
          B[k] /= D[k*m+i];
          memset(&D[k*m], 0, sizeof(double)*(m-i));
          break;
        }
      }
    }
    if (k == n) {
      double tmp = C[i] / D[i*m+j];
      C[i] = 0;
      for (l = j+1; l < m; l++) {
        C[l] -= tmp * D[i*m+l];
      }
      for (l = 0; l < n; l++) {
        if (!isZero(D[l*m+j]) && l != i) {
          double tmp2 = D[l*m+j] / D[i*m+j];
          for (int p = j; p < m; p++) {
            D[l*m+p] -= tmp2 * D[i*m+p];
          }
          C[l] -= tmp2 * C[i];
          B[l] -= tmp2 * B[i];
        }
      }
    }
  }
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    barvinok_coef[i] = barvinokWoods(D+i*m, D+i*m+m, m);
  }
  double base = barvinokWoods(B, B+n, n);
  for (i = 0; i < n; i++) {
    int p = std::max_element(A[i], A[i]+m) - A[i];
    if (isZero(A[i][p])) {
      B[i] = -1e9, C[i] = 1e9;
      continue;
    }
    double max_slope = -1;
    for (j = 0; j < m; j++) {
      if (!isZero(A[i][j])) {
        max_slope = std::max(max_slope, B[j] / A[i][j]);
      }
    }
    B[i] = std::max(B[i], max_slope*A[i][p]);
    C[i] = std::min(C[i], std::max(B[i], -max_slope*A[i][p]));
    E[i] = max_slope;
  }
  D[n*m] = 1;
  for (l = 0; l < m; l++) {
    D[n*m+l+1] = -B[l];
  }
  cnt++;
  for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = i+1; j < n; j++) {
      if (!isZero(D[i*m+p]+E[i]*D[j*m+p])) {
        D[n*m+cnt*m+l+1] = -(B[p]*E[j] - C[p]*E[i]) /
          (D[i*m+p]+E[i]*D[j*m+p]);
        for (k = 0; k < m; k++) {
          D[n*m+cnt*m+k+1] = (B[k]-A[k][p]*D[n*m+cnt*m+l+1]) /
            D[k*m+p] * E[i];
          D[n*m+cnt*m+k+1] += (C[k]-A[k][p]*D[n*m+cnt*m+l+1]) /
            (D[k*m+p]+E[i]*D[k*m+j]) * E[j];
        }
        cnt++;
      }
    }
  }
  cnt--;
  for (i = cnt; i >= 0; i--) {
    for (j = i+1; j <= cnt; j++) {
      D[n*m+i+1] -= D[n*m+j*m+i+1] * D[n*m+j*m];
    }
    D[n*m+i+1] /= D[n*m+i*m+i+1];
  }
  double ans = 0;
  for (i = 0; i <= cnt; i++) {
    double val = D[n*m+i+1] / D[n*m+i*m];
    for (j = i+1; j <= cnt; j++) {
      val -= D[n*m+j*m+i+1] / D[n*m+j*m] *
        D[n*m+j*m+i+1] / D[n*m+j*m+i];
    }
    ans += barvinok_coef[n-1-i] * base * val;
  }
  return static_cast<int>(ans + 0.5);
}

void test() {
  int n, m;
  std::cin >> n >> m;
  double A[MAX][MAX], B[MAX], C[MAX];
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
      std::cin >> A[i][j];
    }
    std::cin >> B[i];
  }
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    std::cin >> C[i];
  }
  std::cout << countFeasibleSolutions(n, m, A, B, C) << std::endl;
}

int main() {
  test();
  return 0;
}

此程序中展现了单纯形法的具体实现，以及计算Barvinok-Woods多项式的方法。如果想深入了解此类算法原理和实现，需要先了解熟悉数学、线性代数、以及计算机科学领域的专业知识。