门问题 Gate-CS-2017(Set 2)

在这里，我们探讨一下'门问题'，Gate-CS-2017(Set 2)中第32章的一个问题。

问题描述

一个门有四个开关，每个开关的初始状态无法确定。当门的任意两个开关为相同状态时，门就可以打开。现在，问你最多需要尝试多少次，才能找到这个门的开关状态，使得无论门的状态是什么，都能打开这个门呢？

解决方案

这个问题可以用一些数学的知识来解决。考虑到每个开关的初始状态无法确定，所以一共有 $2^4=16$ 种状态。我们先考虑如何找到两个开关的状态。

因为每个开关有两种状态，所以一共有 $\binom{4}{2}=6$ 种两个开关的组合方式。我们可以选择一组开关，然后对这两个开关的状态进行猜测，如果门打开了，我们就找到了两个开关的状态。如果没有打开，我们就更改刚刚猜测的两个开关的状态，继续进行猜测。如果所有的组合都尝试了一遍，门还是没有打开，那么我们就可以确定剩下的两个开关的状态了。

因为我们最多需要尝试6次来找到两个开关的状态，所以最多需要 $6+1=7$ 次尝试就能确定这个门所有开关的状态了。

代码示例

def find_gate_status():
    switches = [0] * 4  # 一开始状态不确定，全部置为0

    # 尝试6种两个开关的组合方式
    for i in range(4):
        for j in range(i+1, 4):
            switches[i] = switches[j] = 1
            if is_gate_open(switches):
                return switches
            switches[i] = switches[j] = 0
                
    # 如果都没找到，那么剩下的两个开关的状态就已经确定了
    return switches

def is_gate_open(switches):
    # 判断门是否打开
    return sum(switches) >= 2

结论

门问题的解决方法很有趣，同时也很有理论价值。通过这个问题，我们可以加深对组合数学的理解，也可以提高我们的程序设计能力。