10类NCERT解决方案-第4章二次方程式-练习4.2

概述

本篇介绍的是《10类NCERT解决方案》第4章二次方程式的练习4.2，主要涉及如何求解二次方程的实根和虚根。

二次方程的标准形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a\neq 0$。如果将 $b^2 - 4ac$ 记为 $D$，则有以下情况：

1. 当 $D > 0$ 时，方程有两个实根；
2. 当 $D = 0$ 时，方程有一个重根；
3. 当 $D < 0$ 时，方程有两个共轭复数根。

根据上述情况，我们可以通过一系列公式和方法来求解二次方程式的实根和虚根。

解题思路

对于给定的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以根据以下公式来求解方程的根：

1. 当 $D > 0$ 时，实根公式为 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$；
2. 当 $D = 0$ 时，重根公式为 $x = \dfrac{-b}{2a}$；
3. 当 $D < 0$ 时，虚根公式为 $x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$。

其中，符号 $\pm$ 表示两种情况的根均可，$i$ 是一个虚数单位，满足 $i^2 = -1$。

我们可以先根据给定的 $a, b, c$，计算出 $D$ 的值。根据 $D$ 的大小，再分别使用以上三个公式求解方程的根。

另外，需要注意一下某些边界情况：

1. 如果 $a=0$，则方程不是二次方程，此时不能使用上述公式；
2. 如果 $D < 0$，则要使用复数根，可以考虑输出实部和虚部或者使用 Python 的 cmath 库。

代码实现

下面是 Python 代码实现，代码中可以根据注释理解每一步的实现：

import cmath    # 导入 Pyton 的 cmath 库

a = float(input("请输入二次项系数 a："))
b = float(input("请输入一次项系数 b："))
c = float(input("请输入常数项 c："))

D = b**2 - 4*a*c    # 计算 D 值

if a == 0:
    print("这不是一个二次方程")
elif D == 0:    # D = 0，有一个重根
    x = -b / (2*a)
    print("方程的根为 x = ", x)
elif D > 0:    # D > 0，有两个实根
    x1 = (-b + cmath.sqrt(D)) / (2*a)
    x2 = (-b - cmath.sqrt(D)) / (2*a)
    print("方程的根为 x1 = ", x1, "和 x2 = ", x2)
else:    # D < 0，有两个共轭复数根
    x1 = (-b + cmath.sqrt(abs(D))) / (2*a)
    x2 = (-b - cmath.sqrt(abs(D))) / (2*a)
    print("方程的根为 x1 = ", x1, "和 x2 = ", x2)

总结

本篇介绍了二次方程的实根和虚根的求解方法，以及对应的 Python 代码实现。对于一般的二次方程，可以使用实根公式或重根公式来求解。对于具有复数根的情况，我们可以通过使用 cmath 库来方便地求解。在解题过程中，要注意一些边界条件，避免出现错误的结果。