11类NCERT解决方案-第5章复数和二次方程式-练习5.2

本文是基于11类NCERT解决方案-第5章复数和二次方程式-练习5.2的介绍。

介绍

本教程旨在为需要学习复数和二次方程式的编程人员提供帮助和指导。它涵盖了课本《11类NCERT解决方案-第5章复数和二次方程式》上练习5.2的解决方案。

解决方案

以下是练习5.2的解决方案。这些问题涵盖了复数、二次方程式及其相关概念。

问题1

如果ax² + bx + c = 0的解是实数，则有什么条件？

解决方案：

如果ax² + bx + c = 0的解是实数，则根据判别式D应该是非负的。即，

D = b² - 4ac >= 0

问题2

如果ax² + bx + c = 0的解都是虚数，则有什么条件？

解决方案：

如果ax² + bx + c = 0的解都是虚数，则根据判别式D应该是负的。即，

D = b² - 4ac < 0

问题3

如果ax² + bx + c = 0的一根是2 + i，另一根是2 - i，则a、b和c分别是什么？

解决方案：

我们可以使用 Vieta's formulas 来计算a、b和c。

首先，根据复数的性质，如果一根是2 + i，则另一根是2 - i的共轭数，即2 + i的共轭数是2 - i，2 - i的共轭数是2 + i。

根据方程的解，我们可以得到

x² - (2 + i + 2 - i)x + (2 + i)(2 - i) = 0

即，

x² - 4x + 5 = 0

因此，a = 1，b = -4，c = 5。

问题4

如果方程x² + bx + c = 0的两个解的实部相等，则有什么条件？

解决方案：

假设z是方程x² + bx + c = 0的一根，则另一根是z的共轭数z*。

由于解的实部相等，我们可以得到

Re(z) = Re(z*)

即，

Re(z) = Re(z) - iIm(z)

因此，

Im(z) = -Im(z*)

我们可以将z表示为a + bi的形式，其中a和b是实数。因此，

Re(z) = a

Im(z) = b

根据方程的解，我们可以得到

z + z* = -b

zz* = c

由于z和z*是共轭数，它们的实部和虚部相等。因此，

a = Re(z) = Re(z*)

b = Im(z) = -Im(z*)

根据上述条件，我们可以得到

a² + b² = (a + b)²/4

即，

3a²/4 + ab + b²/4 = 0

因此，

3a² + 4ab + b² = 0

这是一个齐次方程式。因此，当a和b不同时，它们的比例可以确定。当a和b同时为零时，方程的两个解相等，因此方程只有一个解。