10类NCERT解决方案-第4章二次方程式-练习4.3

本文介绍了第10类NCERT的第4章二次方程式中的练习4.3，涉及到二次方程的求解和解的判别式的应用。该练习涵盖了多种类型的二次方程，包括完全平方及其应用，常见公式及其应用，以及配方法等。在介绍练习4.3的具体内容前，我们先来了解一下二次方程的一些基本知识。

二次方程

二次方程是一个形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a,b,c$ 都是实数且 $a\neq 0$，$x$ 为未知数。二次方程中的二次项 $ax^2$ 是其最高次项。

对于一般的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以用以下公式求解：

$$ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

这个公式也被称作二次公式或者根公式。其中 $\sqrt{b^2 - 4ac}$ 被称为判别式，用来判断二次方程的解的情况。

练习4.3

接下来我们来介绍练习4.3的内容。这一练习中，我们需要练习利用不同的方法来求解不同类型的二次方程。

类型1：完全平方

首先，当二次方程是一个完全平方时，我们可以直接利用完全平方公式来求解：

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

举例来说，当给出方程 $x^2 +6x +9=0$ 时，由于 $x^2 +6x +9 = (x+3)^2$，因此这个方程的解为 $x = -3$。

类型2：常见公式

其次，当二次方程是一个常见公式的形式时，我们可以直接利用常见公式来求解。常见公式有以下两种：

1. $x^2-a^2 = (x+a)(x-a)$
2. $x^2+2ax+a^2 = (x+a)^2$

例如，当给出方程 $x^2-5x+6=0$ 时，可以看出这个方程是一个类型1的方程，即 $x^2-5x+6 = (x-3)(x-2)$，因此这个方程的解为 $x=3$ 或者 $x=2$。

再例如，当给出方程 $3x^2+18x+27=0$ 时，可以看出这个方程是一个类型2的方程，即 $3x^2+18x+27=3(x+3)^2$，因此这个方程的解为 $x=-3$。

类型3：万元一次系数

当二次方程的一次系数为 $1$ 时，我们可以直接利用二次公式求解。例如，当给出方程 $x^2-7x+10=0$ 时，由于 $a=1,b=-7,c=10$，因此可以直接代入二次公式求解得出 $x=5$ 或者 $x=2$。

类型4：一般二次方程

对于一般的二次方程，我们可以利用判别式来判断其解的情况：

• 当 $b^2-4ac > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
• 当 $b^2-4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实根；
• 当 $b^2-4ac < 0$ 时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

举例来说，当给出方程 $2x^2+x-1=0$ 时，可以看出这个方程是一个一般的二次方程，即 $a=2,b=1,c=-1$。由于 $b^2-4ac = 1^2-4\times 2\times (-1) = 9 > 0$，因此这个方程有两个不相等的实根。

类型5：配方法

有时候，我们可以利用配方法将一个一般二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。配方法的步骤如下：

1. 将方程 $ax^2+bx+c=0$ 变形为 $a(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2}{4a}+c=0$。
2. 将变形后的方程化简，得到 $(\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$。
3. 将方程两边开根，解出 $x$ 的值。

例如，当给出方程 $x^2-10x+21=0$ 时，我们首先计算出 $a=1,b=-10,c=21$，然后将方程变形为 $(x-5)^2-4=0$。接着，我们将方程两边开根，得到 $(x-5)^2=4$，因此这个方程的解为 $x=7$ 或者 $x=3$。

总结

本文介绍了第10类NCERT的第4章二次方程式中的练习4.3。在这个练习中，我们学习了多种求解二次方程的方法，包括完全平方及其应用，常见公式及其应用，一般二次方程的求解，以及配方法等。学习这些方法可以帮助我们更好地理解和掌握二次方程的知识。