访问无向加权树的所有节点的最小距离

在许多现实世界的应用中，需要计算无向加权树（Undirected Weighted Tree）中的所有节点之间的最短距离。本文将介绍两种算法来解决这个问题：Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法。

Dijkstra 算法

Dijkstra 算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。在无向加权树中，每个节点都是源点。因此，我们可以运行 V 次 Dijkstra 算法，每次以一个节点作为源点，并使用最小堆来维护距离数组（源点到所有其他节点的距离）。时间复杂度为 O(V^2*logV)。

以下是 Python 实现：

import heapq

def dijkstra(graph, vertex):
    heap = [(0, vertex)]
    dist = {vertex: 0}

    while heap:
        (cost, current) = heapq.heappop(heap)
        if current in graph:
            for neighbor, weight in graph[current].items():
                new_cost = dist[current] + weight
                if neighbor not in dist or new_cost < dist[neighbor]:
                    dist[neighbor] = new_cost
                    heapq.heappush(heap, (new_cost, neighbor))
    
    return dist

def min_distance(graph):
    result = {}
    for vertex in graph:
        result[vertex] = dijkstra(graph, vertex)
    return result

其中，graph 是字典类型，表示无向加权树的邻接列表，例如：

graph = {1: {2: 1, 3: 3}, 2: {1: 1, 3: 1}, 3: {1: 3, 2: 1, 4: 2}, 4: {3: 2}}

Floyd-Warshall 算法

Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法，用于解决所有源点间的最短路径问题。在无向加权树中，所有节点都是源点，因此该算法非常适合解决本问题。时间复杂度为 O(V^3)。

以下是 Python 实现：

def floyd_warshall(graph):
    dist = {i: {j: graph[i][j] if i != j else 0 for j in graph} for i in graph}

    for k in graph:
        for i in graph:
            for j in graph:
                dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])

    return dist

def min_distance(graph):
    return floyd_warshall(graph)

其中，graph 是字典类型，表示无向加权树的邻接矩阵，例如：

graph = {1: {1: 0, 2: 1, 3: 3, 4: float('inf')}, 2: {1: 1, 2: 0, 3: 1, 4: float('inf')}, 3: {1: 3, 2: 1, 3: 0, 4: 2}, 4: {1: float('inf'), 2: float('inf'), 3: 2, 4: 0}}

总结

两种算法都可以解决访问无向加权树的所有节点的最小距离问题。根据具体问题的要求和数据规模，我们可以选择其中一种算法来实现。