问题29

这道问题来自于GATE-CS-2000考试，主要考察程序员对于一些基本算法和技术的了解和应用能力。

题目描述

有一个长度为$n$的数组$A$，其中的元素为正整数。现在，你需要计算一下，能够构成一个不包含重复元素的子序列的最大长度是多少。

示例

例如，对于数组$A=[1,3,2,2,4,3]$，能够构成的最长的不包含重复元素的子序列是$[1,3,2,4]$，因此最大长度为$4$。

要求

请你设计一个函数，能够对于任意的正整数数组$A$，计算出其可构成的最大长度的不包含重复元素子序列的长度。

输入格式

• 输入数据的第一行包含一个整数$n$，代表数组$A$的长度。
• 接下来一行，包含$n$个正整数，表示数组$A$中的元素。

输出格式

• 输出一个整数，表示数组$A$中可构成的最大长度的不包含重复元素子序列的长度。

输入示例

6
1 3 2 2 4 3

输出示例

4

解题思路

这道问题需要我们计算出一个不包含重复元素的最长子序列，是一个比较经典的问题。我们可以使用一些算法和技巧来解决。

字典序算法

我们可以使用字典序算法来解决这个问题。具体的，我们可以使用一个列表$V$来记录当前最长的不包含重复元素的子序列，同时我们可以使用一个指针$tail$，指向这个列表中的最后一个元素。我们逐个扫描数组$A$中的元素，对于每一个元素，我们首先检查它是否已经在$V$中出现过，如果没有，将其加入$V$的末尾，并且将$tail$指向这个元素。否则，我们就需要将$V$中的某些元素删去，直到$V$中不再包含重复元素，这个过程中我们可以使用一个指针$head$来进行辅助。具体的实现细节可以看下面的代码：

def longest_subsequence_length(A):
    V = []
    head, tail = 0, -1
    n = len(A)
    ans = 0
    for i in range(n):
        if A[i] in V:
            while V[head] != A[i]:
                head += 1
                V = V[1:]
            head += 1
            V = V[1:]
        V.append(A[i])
        tail += 1
        ans = max(ans, tail - head + 1)
    return ans

动态规划算法

另一种解决这个问题的方法就是使用动态规划。具体的，我们可以使用一个列表$dp$，其中$dp[i]$表示到目前为止，以第$i$个元素结尾的最长不包含重复元素的子序列长度。我们可以从左向右扫描数组$A$，对于每一个元素，我们可以使用一个辅助变量$end$来表示当前满足条件的最长子序列的结尾位置。在遍历到第$i$个元素时，我们可以检查这个元素是否在区间$[end+1,i]$内出现过，如果没有，那么很显然，$dp[i]=dp[i-1]+1$；否则，我们可以将$sub(i,k)$定义为以$k$为结尾的最长不包含重复元素的子序列的长度，那么

$$ dp[i] = \max\limits_{k=end+1}^{i-1}{sub(i,k)}+1 $$

具体的实现细节可以看下面的代码：

def longest_subsequence_length(A):
    n = len(A)
    dp = [1] * n
    end = 0
    for i in range(1, n):
        for j in range(end+1, i):
            if A[j] == A[i]:
                end = j
                break
        dp[i] = max(dp[k] for k in range(end+1, i)) + 1
    return max(dp)

总结

这道题考察了程序员的基本算法和技术的应用能力。我们可以使用字典序算法或者动态规划算法来解决。需要注意的是，在使用字典序算法时，我们需要使用两个指针$head$和$tail$来协助删除元素和添加元素；在使用动态规划算法时，我们需要使用一个辅助变量$end$来记录当前满足条件的最长子序列的结尾位置。