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简介

GATE CS 2021 套装2 第50章是一道算法题，主要考察了图和贪心算法的知识。该题目的题意如下：

给定一张有向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是节点集合，$E$ 是边集合，边 $e\in E$ 由起点 $u(e)$ 和终点 $v(e)$ 构成，并且每条边都有一个权重 $w(e)$，表示从 $u(e)$ 到 $v(e)$ 的距离。现在，你需要选择一个节点 $s\in V$ 作为起点，并计算从 $s$ 出发到其他所有节点的最短路径。同时，每次移动你只能走入度比出度大的节点。

请为该算法编写一个程序。

解法

该算法题主要考察了图和贪心算法的知识。我们可以使用拓扑排序来找到图中入度比出度多的节点。然后，从起点 $s$ 开始，我们可以使用 Dijkstra 算法来计算最短路径，只要更新那些入度比出度大的节点即可。

伪代码如下：

1. 初始化：
   - s 到 s 的距离为 0，其他节点到 s 的距离为无穷大
   - 入度比出度多的节点放入拓扑排序中，并标记为 "未被访问"
2. while (拓扑排序中存在未被访问的入度比出度多的节点):
   - 从拓扑排序中选择一个未被访问的入度比出度多的节点 u
   - 标记节点 u 为 "已被访问"
   - for (u 的所有出边 e):
     - 计算 u 到 e 终点 v 的距离 d
     - 如果 d < v 的当前最短距离，则更新 v 的最短距离为 d
3. 返回 s 到其他节点的最短距离

代码

下面是该算法的 Python 代码实现：

def shortest_path_dag(g, s):
    # 计算拓扑排序
    in_degrees = [0] * len(g)
    for u in g:
        for v in g[u]:
            in_degrees[v] += 1
    topo_order = [u for u in range(len(g)) if in_degrees[u] > len(g[u])]
    
    # 初始化最短路径
    distances = [float('inf')] * len(g)
    distances[s] = 0
    
    # 计算最短路径
    for u in topo_order:
        for v, w in g[u]:
            if distances[u] + w < distances[v]:
                distances[v] = distances[u] + w
    
    return distances

其中，g 是一个字典，表示有向图。其键是节点编号，其值是一个列表，表示该节点连向其他节点的边。每个列表元素是一个二元组，(v, w)，表示该边从节点 u 连向节点 v，其权重为 w。

总结

GATE CS 2021 套装2 第50章是一道考察图和贪心算法的算法题。我们可以使用拓扑排序和 Dijkstra 算法来计算最短路径。通过这道题目的练习，我们能够更好地掌握图和贪心算法的知识，提高编程能力。