门 | GATE CS Mock 2018 | 设置 2 | 问题 37

这是GATE CS 2018考试的一部分，是一道关于门的面向程序员的问题。题目如下：

问题描述

给定一个长度为n的数组arr[]，它表示n个门（arr[i] = 0表示门关闭，arr[i] = 1表示门打开）。假设一开始所有门都是关闭的。对于i从1到n，执行以下操作：

1. 翻转第i个门的状态（假如它是关闭的则打开，反之亦然）
2. 对于所有序号是i的倍数的门，翻转其状态

我们要求的是上述操作完成后，最后有多少扇门被打开。

编写一个函数getOpenDoorsCount，它接收一个整数n和一个整数数组arr[]为输入，并返回最终开门的数量。

函数原型： int getOpenDoorsCount(int n, int arr[])

以下是代码样例：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int getOpenDoorsCount(int n, int arr[]) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int divisorCount = 0;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            if (i % j == 0) //Checking if j divides i
                divisorCount++;
        if (divisorCount % 2 == 1) //Checking if number of divisors is odd/even
            arr[i - 1] = 1 - arr[i - 1];
        if (arr[i - 1] == 1) //Checking if door is open or not
            count++;
    }
    return count;
}

int main() {
    int arr[] = {0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    cout << getOpenDoorsCount(n, arr) << endl;
    return 0;
}

思路分析

该问题的基本思想是在每个门被操作时计算每个门被反转的次数。如果该次数为奇数，那么这个门会被打开；否则，这个门会被关闭。

首先，我们循环遍历每扇门的编号，然后计算它被改变的次数。我们用一个循环来对该门编号的所有倍数执行一个操作。

在计算门被改变的次数时，我们可以通过计算以该编号为除数的数量来确定。如果该数量是奇数，那么门将被改变。

最后，我们统计打开的门的数量，并将其返回。

时间复杂度

在这个算法中，我们必须对n个门执行操作。对于每个门，我们必须计算它的所有因子，并根据总数的奇偶性来决定门是否被改变。因此，算法的总时间复杂度为O(nlogn)。

空间复杂度

在算法中，我们使用了一个计数器和输入数组arr[]的空间，因此空间复杂度为O(n)。