门 | GATE-CS-2002 |第 36 题

这是一道计算机科学领域的算法题目，主要考察的是图论中的最小生成树算法。

题目描述

给定一个加权无向连通图，其中权值为正。找到一个生成树，使得所有边权之和最小。

解题思路

这道题目可以使用 Prim 或者 Kruskal 算法来求解。

Prim 算法

Prim 算法是一种贪心算法，基本思想是每次选取一个与当前生成树直接相连的、且权值最小的边，加入生成树中。通过这个过程不断扩张生成树的同时，保证该生成树一定是最小生成树。

Prim 算法可以通过堆优化的方式来优化时间复杂度，使得时间复杂度为 $O(E \log V)$，其中 $E$ 为边数，$V$ 为顶点数。

Kruskal 算法

Kruskal 算法也是一种贪心算法，基本思想是将边按照权值从小到大排序，然后依次加入生成树中。在加入每条边时，需要判断新加入的边是否与已加入的边形成环路，如果不形成则加入该边。通过这个过程不断扩张生成树的同时，保证该生成树一定是最小生成树。

Kruskal 算法可以通过并查集来判断加入边是否形成环路，时间复杂度为 $O(E \log E)$。

代码实现

以下是使用 Prim 算法实现的 Python 代码：

from heapq import heappop, heappush
from typing import List, Tuple

def prim(n: int, edges: List[Tuple[int, int, int]]) -> int:
    graph = [[] for _ in range(n)]
    for u, v, w in edges:
        graph[u].append((w, v))
        graph[v].append((w, u))
    heap = [(0, 0)]
    visited = [False] * n
    total_cost = 0
    while heap:
        cost, u = heappop(heap)
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        total_cost += cost
        for w, v in graph[u]:
            if not visited[v]:
                heappush(heap, (w, v))
    return total_cost

以下是使用 Kruskal 算法实现的 Python 代码：

from typing import List, Tuple

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def find(self, i):
        if self.parent[i] != i:
            self.parent[i] = self.find(self.parent[i])
        return self.parent[i]

    def union(self, i, j):
        pi, pj = self.find(i), self.find(j)
        if pi == pj:
            return
        if self.rank[pi] < self.rank[pj]:
            pi, pj = pj, pi
        self.parent[pj] = pi
        if self.rank[pi] == self.rank[pj]:
            self.rank[pi] += 1

def kruskal(n: int, edges: List[Tuple[int, int, int]]) -> int:
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort()
    total_cost, num_edges = 0, 0
    for w, u, v in edges:
        if uf.find(u) != uf.find(v):
            uf.union(u, v)
            total_cost += w
            num_edges += 1
            if num_edges == n - 1:
                break
    return total_cost