介绍

这是GATE-CS-2001考试中的第8道问题，需要对给定的算法进行分析和实现。该问题主要涉及到图论中的最小生成树和动态规划算法。

问题描述

给定一个连通加权无向图$G=(V,E)$和它的一棵生成树$T=(V',E')$，对于一个权重为$w$的边$e\in E\setminus E'$，我们可以在$T$中删除一条比这条边权重大的边，然后将该边加入$T$中，得到新的生成树$T'=(V',E'\cup{e'}\setminus{e''})$，其中$e''$是$T'\cap {e}$中权重最大的边。现在，我们需要设计一个算法，对于所有满足$w(e)>w(e'')$的边$e\in E\setminus E'$，找到权重最小的$e'$并输出。

解答

这道问题可以用下面的动态规划算法解决：

• 首先，对于任意一个$e\in E\setminus E'$，我们找到$T\cup {e}$中权重最大的边$e''$，如果$w(e)\le w(e'')$，那么$e$不可能是答案。
• 然后，我们将$E\setminus E'$中所有满足$w(e)>w(e'')$的边按照权重从小到大排序，设为$e_1,e_2,\cdots,e_k$。
• 令$S_i$为$e_1,\cdots,e_i$生成的所有树中的最小值，用Kruskal算法来求解。$S_k$就是最终的答案。

接下来，我们来证明这个算法的正确性。

首先，令$T'_i=(V',E'\cup{e_1,\cdots,e_i}\setminus{e''_1,\cdots,e''_i})$，其中$e''_i$是$T'_i\cap {e_1,\cdots,e_i}$中权重最大的边。那么，由定义可知，$S_i$就是$T'_i$中所有边权最小的边权值。

然后，我们通过归纳证明来证明算法的正确性：

• 当$i=1$时，我们有$S_1=w(e_1)$。因为$w(e_1)>w(e''_1)$，所以$e_1$可以替换$e''_1$得到一颗比$T$更小的生成树，因此$S_1$是正确的。

• 假设当$i<k$时，$S_i$是正确的。我们需要证明$S_k$也是正确的。即证明，$S_k$可以由$S_{k-1}$通过一次替换得到，并且$w(e_k)=S_k$。

• 首先，由假设可知，$S_{k-1}$可以由$T'_{k-1}$中满足条件的边生成，而$T'k$可以由$T'{k-1}$替换其中一条边生成。因此，$S_k$可以由$T'_k$中满足条件的边生成，即$S_k\le w(e_k)$。

• 然后，我们需要证明$S_k\ge w(e_k)$。假设存在一颗树$T_0$，它满足：

  1. 它是由$V'$和至少一条来自$E\setminus E'$中满足条件的边生成的。
  2. 它的边权之和小于$w(e_1)+\cdots+w(e_i)$。
  3. $w(e_1)+\cdots+w(e_i)$是$T_0$中所有边中最小的。

  那么，由假设可知，$S_{i}=w(T_{i-1}+{e_i})$。因为$T_0$是由$V'$和来自$E\setminus E'$中至少一条满足条件的边生成的，所以我们可以得到$T_0$中至少有一条边$e_j$满足$w(e_j)>w(e''_j)$。

  然后，我们将$T_0$中权重最大的边删除，加入$e_i$，得到新的树$T_1$。这里需要注意，由于$T_0$中存在一条边满足$w(e_j)>w(e''_j)$，因此$e''_j$不可能是$e_i$中的边。因此，$T_1$是由$V'$和至少一条来自$E\setminus E'$中满足条件的边生成的。

  由于$e_i$是$E\setminus E'$中权重最小的边，因此$w(e_i)\le w(e_j)$。因此，我们可以用$e_j$替换$e_i$，得到一颗树$T_2$，满足$T_2$是由$V'$和至少一条来自$E\setminus E'$中满足条件的边生成的，其边权之和小于等于$w(e_1)+\cdots+w(e_i)$。因此，$S_{i}=w(T_{i-1}+{e_i})\ge w(T_2)\ge S_{i-1}$。

  综上，我们得到$S_k=S_{k-1}\cup{e_k}\setminus{e''k}$。因此，$S_k$可以由$S{k-1}$通过一次替换得到，并且$S_k\le w(e_k)$。由于归纳假设，$S_{k-1}$是正确的，因此$S_k$也是正确的。

综上，我们证明了该算法的正确性。下面给出该算法的实现代码：

# S1: 构造 T'
T_prime = {}
for e in E - E_prime:
    e_max = max([e_ for e_ in T+{e} if e_ != e], key=lambda e: e.weight)
    if e.weight > e_max.weight:
        T_prime[e] = e_max
   
# S2: 排序所有符合条件的边
e_list = sorted([e for e in E - E_prime if e.weight > T_prime[e].weight], key=lambda e: e.weight)

# S3: Kruskal 算法求解 S_k
S_k = set(T_prime.values())
for e in e_list:
    S_k.add(e)
    S_k.discard(max([e_ for e_ in S_k if e_ != e], key=lambda e_: e_.weight))