GATE-CS-2002 | 第47题

这个题目要求我们写一个程序来解决给定的线性方程组。

问题描述

给定一个 $n \times (n+1)$ 的矩阵 $A$，其中第 $i$ 行的前 $n$ 个元素表示第 $i$ 个方程的系数，第 $n+1$ 个元素表示方程的常数项，即：

$$ a_{i,1}x_{1} + a_{i,2}x_{2} + \cdots + a_{i,n}x_{n} = b_i $$

我们的任务就是要求出 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的值。

解题思路

这个问题可以使用高斯-约旦消元法来求解。主要的思路是通过初等变换把矩阵变为一个上三角矩阵，并利用矩阵的可逆性求解线性方程组。

高斯-约旦消元法

我们从第一列开始处理。如果第一列的第一个元素为 $0$，则找到第一个非零的元素，并使用第一行和该行进行交换。然后我们将第一列的第一个元紧接着查看，将每一行的第一个元以下的元素消成 $0$。接着，我们继续处理第二列，直到处理到最后一列。这时，我们就得到了上三角矩阵。最后，我们用回代法求解出未知数的值。

回代法

在高斯-约旦消元过程中，我们将矩阵变成了一个上三角矩阵。因此，我们可以使用回代法去求解未知数的值。

从下往上，我们可以求解每一个 $x_i$ 的值。具体过程为：

1. 当 $i = n$ 时，显然有 $x_n = \frac{b_n}{a_{n, n}}$。
2. 当 $1 \leq i < n$ 时，有 $x_i = \frac{1}{a_{i, i}} \left( b_i - \sum_{j=i+1}^{n}a_{i,j}x_j \right) $。

代码实现

def gauss_jordan_elimination(A):
    """
    A: n x (n+1) matrix
    returns: a list of length n containing the solution to the system of linear equations
    """
    n = len(A)

    # Convert A into an upper triangular matrix
    for i in range(n):
        # Find a pivot if we can
        if A[i][i] == 0:
            for j in range(i + 1, n):
                if A[j][i] != 0:
                    A[i], A[j] = A[j], A[i]
                    break

        # If we still can't find a pivot, the matrix is singular
        if A[i][i] == 0:
            return None

        # Eliminate the variables below the pivot
        for j in range(i + 1, n):
            factor = A[j][i] / A[i][i]

            for k in range(i, n + 1):
                A[j][k] -= factor * A[i][k]

    # Use back-substitution to solve for the variables
    x = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        x[i] = A[i][n] / A[i][i]
        for j in range(0, i):
            A[j][n] -= A[j][i] * x[i]

    return x

代码实现中，我们传入一个 $n \times (n+1)$ 的矩阵 $A$，矩阵的最后一列是常数项。我们的函数最终返回一个 $n$ 长度的列表，包含了每个未知数的值。如果无解，我们将返回 None。

在高斯-约旦消元过程中，为了避免出现很小的浮点数，我们可以将每个行的主元的值设为 $1$，即将每行都除以该行的主元。这就保证了每个主元都是 $1$。

结语

高斯-约旦消元法是解决线性方程组的一种常见方法。这个算法的时间复杂度是 $O(n^3)$，这意味着对于很大的矩阵可能需要很长的运行时间。在实际应用中，我们可以利用矩阵分解等技巧来加速求解过程。