GATE CS Mock 2018年- 第54章

本次模拟题为GATE CS 2018年Mock的第54章。

题目描述

给定一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，其中每个元素均为 $0$ 或 $1$。

定义每个由 $1$ 构成的单元格的成分为 $1$ 个群组。 那么一个群体被定义为“孤岛”，如果在该群中没有水平或垂直的相邻单元格。

请编写一个程序，以群组的数量作为输入，并输出该输入中的最大孤岛大小。

示例

例如，给定一个 $5 \times 5$ 矩阵：

0 0 0 0 1
1 1 0 0 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0

最大孤岛的大小为 $4$。

解法

我们可以使用DFS或BFS遍历矩阵并识别群组，并对每个群组进行计数。在对每个群组进行计数时，我们需要检查群组是否与现有的孤岛相邻。如果是，则我们将其与相邻的孤岛合并，并更新孤岛的大小。否则，我们创建一个新的孤岛。

以下是一个Java实现示例：

import java.util.*;

public class MaxIslandSize {
    private static final int[][] DIRECTIONS = {{-1,0}, {0,-1}, {1,0}, {0,1}};

    public static int countIslands(int[][] grid) {
        if(grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
            return 0;
        }

        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int islandCount = 0;
        Set<Integer> islandIds = new HashSet<>();
        Map<Integer, Set<Integer>> islandMap = new HashMap<>();
        Map<Integer, Integer> sizeMap = new HashMap<>();

        for(int i = 0; i < m; i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                if(grid[i][j] == 1) {
                    boolean isNewIsland = true;
                    int islandId = -1;

                    for(int[] direction : DIRECTIONS) {
                        int x = i + direction[0];
                        int y = j + direction[1];

                        if(x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n) {
                            if(grid[x][y] == 1 && islandIds.contains(islandMap.get(x).get(y))) {
                                if(isNewIsland) {
                                    isNewIsland = false;
                                    islandId = islandMap.get(x).get(y);
                                    sizeMap.put(islandId, sizeMap.get(islandId) + 1);
                                } else {
                                    int neighborIslandId = islandMap.get(x).get(y);
                                    sizeMap.put(islandId, sizeMap.get(islandId) + sizeMap.get(neighborIslandId));
                                    islandMap.get(x).put(y, islandId);

                                    for(int[] neighborDirection : DIRECTIONS) {
                                        int neighbourX = x + neighborDirection[0];
                                        int neighbourY = y + neighborDirection[1];

                                        if(neighbourX >= 0 && neighbourX < m && neighbourY >= 0 && neighbourY < n) {
                                            if(grid[neighbourX][neighbourY] == 1 && islandIds.contains(islandMap.get(neighbourX).get(neighbourY)) && islandMap.get(neighbourX).get(neighbourY) != islandId) {
                                                sizeMap.put(islandId, sizeMap.get(islandId) + sizeMap.get(islandMap.get(neighbourX).get(neighbourY)));
                                                islandIds.remove(islandMap.get(neighbourX).get(neighbourY));
                                                islandMap.get(neighbourX).put(neighbourY, islandId);
                                            }
                                        }
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }

                    if(isNewIsland) {
                        islandCount++;
                        islandIds.add(islandCount);
                        islandMap.put(i, new HashMap<>());
                        islandMap.get(i).put(j, islandCount);
                        sizeMap.put(islandCount, 1);
                    } else {
                        islandMap.get(i).put(j, islandId);
                    }
                }
            }
        }

        int maxIslandSize = 0;

        for(int islandId : sizeMap.keySet()) {
            if(sizeMap.get(islandId) > maxIslandSize) {
                maxIslandSize = sizeMap.get(islandId);
            }
        }

        return maxIslandSize;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] grid = {{0,0,0,0,1},
                        {1,1,0,0,1},
                        {1,1,0,0,0},
                        {0,1,1,0,0},
                        {0,0,0,0,0}};
        int maxIslandSize = countIslands(grid);
        System.out.println("Max Island Size: " + maxIslandSize);
    }
}

复杂度

时间复杂度：$O(m \times n)$

空间复杂度：$O(m \times n)$

总结

此题需要我们遍历整个矩阵，检测每个群组是新的孤岛还是现有孤岛的一部分，并将其与相邻的孤岛合并或创建一个新的孤岛。这样我们就可以计算最大孤岛的大小并将其返回。

在实现中，我们使用了Set和Map来存储岛屿的状态信息和孤岛的大小，以及两次遍历机制以检测相邻的岛屿。我们还从$O(m \times n)$的时间和空间复杂度的角度考虑了算法的效率。