📅 最后修改于: 2023-12-03 14:58:20.918000 🧑 作者: Mango
这道题目要求我们设计一个基于门控神经网络（Gated Neural Network）的分类器来处理二进制序列。具体来说，给定一个 $n$ 位的二进制序列 $x=(x_1,x_2,\cdots, x_n)$，它是由 $0$ 和 $1$ 组成的。我们需要利用门控神经网络设计一个分类器，将 $x$ 分类为 $0$ 或 $1$。
门控神经网络是一种结构化的循环神经网络（Recurrent Neural Network，简称 RNN）模型，它通过对输入数据进行门控之后输出新的特征向量。它被广泛应用于语言建模、机器翻译、语音识别、图像描述等多个领域，并在这些领域中取得了许多优异表现。
门控神经网络由一组门控单元和非线性变换组成，其中，门控单元表示一个向量 $h$ 是否在当前时间步骤应该考虑进来。在门控神经网络中，有三种主要的门控单元：输入门（Input Gate）、遗忘门（Forget Gate）和输出门（Output Gate）。下面分别介绍这三种门控单元。
$$i_t = \sigma(W_{xi} x_t + W_{hi} h_{t-1} + b_i)$$
其中 $i_t$ 是输入门的输出，$\sigma(\cdot)$ 是 sigmoid 函数，$W_{xi}$ 是从输入向量 $x_t$ 到输入门 $i_t$ 的权重矩阵，$W_{hi}$ 是从上一时刻的输出向量 $h_{t-1}$ 到输入门 $i_t$ 的权重矩阵，$b_i$ 是输入门 $i_t$ 的偏置向量。
$$f_t = \sigma(W_{xf} x_t + W_{hf} h_{t-1} + b_f)$$
其中 $f_t$ 是遗忘门的输出，$\sigma(\cdot)$ 是 sigmoid 函数，$W_{xf}$ 是从输入向量 $x_t$ 到遗忘门 $f_t$ 的权重矩阵，$W_{hf}$ 是从上一时刻的输出向量 $h_{t-1}$ 到遗忘门 $f_t$ 的权重矩阵，$b_f$ 是遗忘门 $f_t$ 的偏置向量。
$$o_t = \sigma(W_{xo} x_t + W_{ho} h_{t-1} + b_o)$$
其中 $o_t$ 是输出门的输出，$\sigma(\cdot)$ 是 sigmoid 函数，$W_{xo}$ 是从输入向量 $x_t$ 到输出门 $o_t$ 的权重矩阵，$W_{ho}$ 是从上一时刻的输出向量 $h_{t-1}$ 到输出门 $o_t$ 的权重矩阵，$b_o$ 是输出门 $o_t$ 的偏置向量。
在门控神经网络中，输出向量 $h$ 的计算公式为：
$$h_t = o_t \odot \tanh(C_t)$$
其中 $\odot$ 是逐元素乘法（Hadamard product）运算符，$C_t$ 是记忆单元向量，$\tanh(\cdot)$ 是双曲正切函数。记忆单元向量的计算公式为：
$$C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t $$
其中 $\odot$ 是逐元素乘法（Hadamard product）运算符，$\tilde{C}_t$ 是当前的记忆单元候选向量，其计算公式为：
$$\tilde{C}t = \tanh(W{xc} x_t + W_{hc} h_{t-1} + b_c)$$
其中 $W_{xc}$ 是从输入向量 $x_t$ 到记忆单元候选向量 $\tilde{C}t$ 的权重矩阵，$W{hc}$ 是从上一时刻的输出向量 $h_{t-1}$ 到记忆单元候选向量 $\tilde{C}_t$ 的权重矩阵，$b_c$ 是记忆单元向量 $C_t$ 的偏置向量。
给定一个 $n$ 位的二进制序列 $x=(x_1,x_2,\cdots, x_n)$，我们需要设计一个基于门控神经网络的二进制分类器来将 $x$ 分为 $0$ 和 $1$ 两类。
首先，我们需要将输入序列 $x$ 转化为一个向量 $v$。这里有许多不同的方法可以实现，本题题意中并没有规定具体的向量化方法。举个例子，我们可以将 $x$ 的每个元素 $x_i$ 作为 $v$ 的一个二进制特征。这样我们可以得到一个 $n$ 维的二进制特征向量 $v$。
接下来，我们将 $v$ 输入到一个门控神经网络中，并通过最终的输出向量来预测该输入序列所属的类别。具体来说，我们可以设计如下的门控神经网络：
import torch
import torch.nn as nn
class GatedNeuralNetwork(nn.Module):
def __init__(self, input_size, hidden_size):
super(GatedNeuralNetwork, self).__init__()
self.input_size = input_size
self.hidden_size = hidden_size
# Input Gate
self.Wxi = nn.Linear(input_size, hidden_size)
self.Whi = nn.Linear(hidden_size, hidden_size)
self.bi = nn.Parameter(torch.zeros(1, hidden_size))
# Forget Gate
self.Wxf = nn.Linear(input_size, hidden_size)
self.Whf = nn.Linear(hidden_size, hidden_size)
self.bf = nn.Parameter(torch.zeros(1, hidden_size))
# Output Gate
self.Wxo = nn.Linear(input_size, hidden_size)
self.Who = nn.Linear(hidden_size, hidden_size)
self.bo = nn.Parameter(torch.zeros(1, hidden_size))
# Memory Cell
self.Wxc = nn.Linear(input_size, hidden_size)
self.Whc = nn.Linear(hidden_size, hidden_size)
self.bc = nn.Parameter(torch.zeros(1, hidden_size))
def forward(self, x):
batch_size, seq_len, _ = x.size()
# Initialize hidden and memory state
hidden_state = torch.zeros(batch_size, self.hidden_size)
memory_state = torch.zeros(batch_size, self.hidden_size)
for t in range(seq_len):
# Input Gate
i_t = torch.sigmoid(self.Wxi(x[:, t, :]) + \
self.Whi(hidden_state) + \
self.bi)
# Forget Gate
f_t = torch.sigmoid(self.Wxf(x[:, t, :]) + \
self.Whf(hidden_state) + \
self.bf)
# Output Gate
o_t = torch.sigmoid(self.Wxo(x[:, t, :]) + \
self.Who(hidden_state) + \
self.bo)
# Candidate Memory Cell
c_tilde = torch.tanh(self.Wxc(x[:, t, :]) + \
self.Whc(hidden_state) + \
self.bc)
# Update Memory Cell
memory_state = f_t * memory_state + i_t * c_tilde
# Update Hidden State
hidden_state = o_t * torch.tanh(memory_state)
return hidden_state
上面的代码定义了一个名为 GatedNeuralNetwork 的门控神经网络模型。输入到该模型的数据按 (batch_size, seq_len, input_size) 的顺序排列，其中 batch_size 表示批次大小，seq_len 表示序列的长度，input_size 表示向量的维度。模型的输出为每个样本的最终状态向量，大小为 (batch_size, hidden_size)。
接下来，我们可以将输出向量输入到一个具有单个输出节点的线性层中，得到一个实值。我们可以将该值看作是输入序列属于类别 $1$ 的概率估计。利用这种方法，我们可以将门控神经网络扩展为一个二进制分类器，如下所示：
import torch
import torch.nn as nn
class BinaryClassifier(nn.Module):
def __init__(self, input_size, hidden_size):
super(BinaryClassifier, self).__init__()
self.gated_nn = GatedNeuralNetwork(input_size, hidden_size)
self.linear = nn.Linear(hidden_size, 1)
def forward(self, x):
h = self.gated_nn(x)
y = self.linear(h)
return torch.sigmoid(y)
上面的代码定义了一个名为 BinaryClassifier 的门控神经网络二进制分类器模型。输入到该模型的数据按 (batch_size, seq_len, input_size) 的顺序排列，其输出为每个样本属于类别 $1$ 的概率估计，维度为 (batch_size, 1)。
在训练这个二进制分类器时，我们可以使用交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）作为损失函数。具体来说，假设训练集中的 $m$ 个样本为 ${x^{(1)},x^{(2)},\cdots, x^{(m)}}$，它们的标签分别为 ${y^{(1)},y^{(2)},\cdots, y^{(m)}}$，其中每个 $y^{(i)}$ 是二进制标签，取值为 $0$ 或 $1$。则模型的损失函数为：
$$J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m [ y^{(i)}\log\hat{y}^{(i)} + (1-y^{(i)})\log(1-\hat{y}^{(i)}) ]$$
其中 $\hat{y}^{(i)}$ 是模型对样本 $x^{(i)}$ 的预测值，可以通过调用 BinaryClassifier 模型的 forward 方法获得，$\theta$ 是模型的参数（权重和偏置），可以通过优化算法（如随机梯度下降算法）来学习。
本题要求我们基于门控神经网络设计一个二进制分类器来处理给定的二进制序列。我们介绍了门控神经网络的原理和基本计算方法，以及如何将它扩展为一个二进制分类器。具体来说，我们使用 GatedNeuralNetwork 类来定义门控神经网络模型，使用 BinaryClassifier 类来定义二进制分类器模型。在训练这个二进制分类器时，我们可以使用交叉熵损失作为损失函数，然后使用随机梯度下降或其他优化算法来学习模型参数。