名人问题 | 第 2 组

1. 简介

名人问题（Celebrity Problem）是指在一个社交网络中找出那个与其他人都不相连的“名人”。

具体来说，在一个有$n$个人的社交网络中，如果存在一个人，他不认识其他人，但是其他人都知道他，那么这个人就是该社交网络中的“名人”。

2. 解法

2.1 暴力解法

最容易想到的解法是对每个人都遍历一遍整个社交网络，看他是否是“名人”。

具体来说，我们可以用一个二维数组$graph$表示社交网络，其中$graph[i][j]$等于$1$表示$i$认识$j$，等于$0$则表示不认识。

我们对每个人$i$都依次判断他是否为“名人”：若$graph[i][j]=1$，则说明$i$认识$j$，跳过；否则，说明$j$不认识$i$，跳过；如果$i$已经遍历完整个网络，并且没有其他人认识他，那么他就是“名人”。

时间复杂度为$O(n^2)$。

2.2 优化解法

如果我们将每个人看做一个节点，认识看做一条有向边，那么整个社交网络就是一个有向图。

对于一条有向边$(i,j)$，我们可以知道$i$不可能是“名人”，因为他认识$j$。

所以我们可以通过遍历一次整个有向图，找到一个可能的“名人”候选者，再用一次遍历来判断这个候选者是否真的是“名人”。

具体来说，我们用一个数组$candidate$来记录候选者，初始值为$0$，表示大家都是候选者。

我们首先遍历整个有向图，对于每个边$(i,j)$，如果$candidate[i]=0$，则跳过；否则，令$candidate[i]=j$，表示当前的$i$认识$j$，因此$j$才有可能是“名人”。

接着，我们再一次遍历整个有向图，对于每个人$i$，如果$candidate[i]=0$，则跳过；否则，我们需要判断$candidate[i]$是否是“名人”，具体来说：如果存在一个$j$，使得$j\ne i$且$candidate[j]=i$，那么$i$不可能是“名人”；否则，$i$就是“名人”。

时间复杂度为$O(n)$。

3. 代码实现

3.1 暴力解法

def is_celebrity(n: int, graph: List[List[int]]) -> int:
    for i in range(n):
        is_candidate = True
        for j in range(n):
            if i == j:
                continue
            if graph[i][j] == 1 or graph[j][i] == 0:
                is_candidate = False
                break
        if is_candidate:
            is_celebrity = True
            for j in range(n):
                if j == i:
                    continue
                if graph[i][j] == 1:
                    is_celebrity = False
                    break
            if is_celebrity:
                return i
    return -1

3.2 优化解法

def is_celebrity(n: int, graph: List[List[int]]) -> int:
    candidates = [i for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if graph[i][j] == 1:
                candidates[i] = -1
                break
        if candidates[i] != -1:
            for j in range(n):
                if i == j or graph[j][i] == 1:
                    continue
                candidates[i] = -1
                break
        if candidates[i] != -1:
            for j in range(n):
                if i == j:
                    continue
                if graph[i][j] == 1:
                    candidates[i] = -1
                    break
        if candidates[i] != -1:
            return i
    return -1

4. 总结

名人问题是一道比较经典的问题，考察了图论和算法优化等知识点。对于暴力解法，虽然易于实现，但是时间复杂度较高；而优化解法虽然时间复杂度较低，但是代码实现较为复杂。对于程序员来说，需要灵活掌握算法和数据结构，以便能够在实际开发中应对各种问题。