证明旅行推销员问题是NP Hard

介绍

旅行推销员问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题，也是一个NP难问题。问题描述为：给定一系列的城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。

该问题具有重大的实际意义，在许多领域得到广泛应用，如电路设计、货车调度、计算机制作、DNA测序等等。

NP Hard的含义

NP Hard是指不仅是NP问题，而且还是NP问题中最困难的那一类问题。换一种说法，就是所有NP问题都可以约化为NP Hard问题，即如果我们能在多项式时间内解决某个NP Hard问题，那么我们就可以在多项式时间内解决所有的NP问题。

证明

我们将证明旅行推销员问题是NP Hard，通过将其约化为图的哈密顿回路问题（Hamiltonian Circuit Problem，HCP）。

HCP指的是在无向图中存在一条包含所有顶点的简单回路，称为哈密顿回路。该问题也是一个NP难问题。我们可以将TSP转化为HCP，从而证明TSP是NP Hard。

具体来说，我们可以借助一个图的变换，将TSP的问题转化为HCP的问题。该变换方式称为Gadget方法：

1. 对于每个城市，我们建立一条长度为0的线段作为出入点。我们将这样一组线段称为城市盒子。
2. 对于所有城市盒子之间的距离，我们建立一条边。这些边构成了一个完全图。
3. 对于上述完全图中的每个边，我们将其边权定为城市盒子之间的距离。
4. 对于每个城市盒子，我们在其内部建立一个包含全部城市盒子的完全图。这个完全图称为城市盒子中的子图。
5. 对于城市盒子中子图的每个边，我们将其边权设为无限大，这意味着连接城市盒子中子图上两个点的任何边都是无效的。

我们来看一个例子：

在这个例子中，我们有4个城市，分别为A、B、C、D。它们分别被画在4个盒子中（4个盒子放在了完全图的4个顶点上）。它们之间的距离用红色的线段表示。

城市盒子中的子图以绿色的虚线包围。每个子图是一个完全图，但是所有边的权值被设置为无限大，因此我们可以将它们看作是没有边的子图。

我们可以证明：

在这个新的图上，找出哈密顿回路的复杂度与长度为N的TSP问题是等价的。因此，如果我们能够解决这个新的问题，那么我们也可以解决TSP问题。由于这个新的问题是NP难问题，我们可以得出旅行推销员问题也是NP难问题。

结论

通过Gadget方法的转换，我们可以将旅行推销员问题TSP转换为图的哈密顿回路问题HCP，从而证明TSP是NP hard。这个证明方式说明了TSP是一个极其困难的问题，在实际使用时需要特别小心和谨慎。