使用BackTracking的旅行推销员问题实施

简介

旅行推销员问题（Travelling Salesman Problem, TSP）是一个经典的旅行路线规划问题，其基本形式为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并返回起始城市的最短回路。TSP 是一个 NP 完全问题，没有多项式时间的解法。

Backtracking（回溯算法）是一种基于递归的搜索算法，用于在有限的搜索树中寻找所有的解。回溯算法通常应用于排列、组合、子集等问题。TSP 可以看作一种排列问题，因此回溯算法可以用于求解 TSP。

实现思路

回溯算法通常需要遵循以下步骤：

1. 选择一个候选节点，即扩展节点，这时需要判断该节点是否满足限界条件或者答案条件。
2. 如果该节点满足限界条件，则从该节点继续向下搜索；否则剪枝。
3. 如果到达答案条件，则保存结果并返回。
4. 从候选节点扩展出新的节点，并进行搜索。

在 TSP 中，我们可以以任意一个城市作为起始节点，并且每一次扩展节点，都需要判断该节点是否满足条件：

1. 是否是第一次扩展。
2. 是否到达了所有的城市。
3. 是否前往该节点会比已有的路径更短。

如果某个节点已经不满足条件，则需要进行剪枝，返回上一个节点。

代码实现

下面是使用 Python 实现的 Backtracking 算法求解 TSP 的代码片段：

import numpy as np

def TSP(dist):
    n = len(dist)
    visited = [False] * n
    path = []
    min_dist = np.inf

    def backtrack(pos, cur_dist):
        nonlocal min_dist
        if pos == 0 and len(path) == n:
            min_dist = min(min_dist, cur_dist)
            return
        for i in range(n):
            if not visited[i]:
                if pos == 0:
                    path.append(i)
                    visited[i] = True
                    backtrack(i, 0)
                    visited[i] = False
                    path.pop()
                else:
                    last_city = path[-1]
                    distance = dist[last_city][i]
                    if cur_dist + distance < min_dist:
                        path.append(i)
                        visited[i] = True
                        backtrack(pos - 1, cur_dist + distance)
                        visited[i] = False
                        path.pop()

    backtrack(n, 0)
    return min_dist

代码中，dist 是一个 $n \times n$ 的矩阵，表示每对城市之间的距离。TSP 函数负责计算从任意一个城市出发回到该城市的最短路径，并返回路径长度。

我们定义了一个内部函数 backtrack，该函数用来进行回溯搜索，pos 表示还剩下多少个城市未访问，cur_dist 表示当前已访问的路径长度。如果到达目标条件，即所有城市都已访问，并且回到了起始城市，那么更新最短路径长度 min_dist。

在 for 循环中，我们依次枚举未访问的城市，并判断是否满足条件进行扩展或剪枝。如果是第一次扩展，我们直接将该城市作为起始城市，并将其标记为访问过；否则，计算前往该城市的距离和已有的路径长度之和是否比最短路径更短。如果更短，我们将该城市添加到路径中，并标记为访问过，继续进行搜索；否则剪枝返回上一个节点。

总结

TSP 是一个经典的优化问题，在实际应用中有着重要的意义。Backtracking 算法是一种简单且常用的搜索算法，可以用于求解排列、组合、子集等问题。将 Backtracking 算法与 TSP 结合，可以得到一种简单而有效的 TSP 求解方法。