DAA | 旅行推销员问题

介绍

旅行推销员问题是一个经典的组合优化问题，它的目标是求出一条路径，让旅行推销员能够只通过一次经过所有城市，并回到起点，同时使总路径最短。

这个问题有很多应用，例如物流规划、电路布线、数据库查询优化等等。它也是非常有意思的一个问题，因为它涉及组合优化、图论和算法设计等领域，同时也给我们提供了锻炼代码能力的机会。

算法

解决旅行推销员问题的算法主要有两种：

1. 枚举法

枚举法是最简单的解法，它实际上是找出所有可能的路径，然后再找出其中最短的一条。该算法可以在 $O(n!)$ 的时间内找到最优解，但由于 $n$ 的增长很快，因此当城市数量较大时，算法效率会急剧下降。

2. 最短路径算法

最短路径算法是一类能够快速计算出两点之间最短路径的算法，例如 Dijkstra 算法、Floyd 算法、Bellman-Ford 算法等。将这些算法应用到旅行推销员问题中，可以得出一个时间复杂度为 $O(n^2 2^n)$ 或 $O(n^22^{n-1})$ 的算法，其中 $n$ 是城市数量。

实现

以下是一个 C++ 实现的例子：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, G[20][20], dp[1<<20][20];

int tsp(int S, int v) {
    if (S == (1<<n)-1 && v == 0) return 0;
    if (dp[S][v] != -1) return dp[S][v];
    int ans = INF;
    for (int u = 0; u < n; u++) {
        if (!(S >> u & 1)) {
            ans = min(ans, G[v][u] + tsp(S|1<<u, u));
        }
    }
    return dp[S][v] = ans;
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> G[i][j];
        }
    }
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    cout << tsp(1, 0) << endl;
    return 0;
}

此代码使用了记忆化搜索来优化时间复杂度，$dp[S][v]$ 表示已经访问了集合 $S$ 中的城市，当前在城市 $v$，还要 visits[]数组上传的是记录城市的访问情况。

输出

本段介绍了旅行推销员问题的算法和实现。将该代码上传至IDE或命令行，则会得出旅行推销员问题的最短路径长度。