证明旅行推销员问题是NP Hard

先决条件：旅行推销员问题，NP困难

给定一组城市以及每对城市之间的距离，旅行商问题会找到这些城市之间的路径，使之成为最短路径，并遍历每个城市一次，然后返回起点。

问题–给定一个图G(V，E) ，问题在于确定该图是否具有包含最多为K的成本的TSP。
解释 –
为了证明旅行商问题是NP-Hard，我们必须将已知的NP-Hard问题简化为该问题。我们将从汉密尔顿周期问题简化为旅行商问题。
汉密尔顿周期问题的每个实例都由图G =(V，E)组成，因为输入可以转换为由图G’=(V’，E’)和最大成本K组成的旅行推销员问题。将以以下方式构造图G’：
对于属于E的所有边e，加上边c(e)= 1的代价。连接原始图形G中不存在的其余边缘e’属于E’，每个边缘的成本为c(e’)= 2。
并且，设置$K = N$ 。
只需将G转换为完整的图G’并添加相应的成本，就可以在多项式时间内构造新的图G’。可以通过以下两个权利要求来证明这种减少：

• 让我们假设图G包含一个遍历图的所有顶点V的哈密顿环。现在，这些顶点与$cost = N$因为它使用成本为c(e)= 1的原始图的所有边。并且，由于这是一个循环，因此它返回到原始顶点。
• 我们假设图G’包含一个成本为TSP的TSP， $K = N$ 。 TSP遍历图的所有顶点，返回到原始顶点。现在，由于没有一个顶点从图中排除，并且成本总和为n，因此，必然要使用成本为1的E中存在的图的所有边，从而与图G形成一个哈密顿循环。

因此，如果图G包含哈密顿循环，我们可以说图G’包含TSP。因此，旅行商问题的任何情况都可以简化为汉密尔顿周期问题的情况。因此，TSP是NP-Hard。