算法测验|须藤放置[1.7] |问题9

介绍

这是一道关于须藤放置的算法测验中的第9题。须藤放置是一种有趣的概率问题，其基本规则是在一条线段上从左到右依次放置长度为1的棍子，每次放置需要满足以下两条规则：

1. 棍子必须和前面的棍子有交叉部分。
2. 棍子的位置是随机的且服从均匀分布。

该算法测验的目的是计算出放置n个棍子时这条线段被棍子所覆盖的期望长度。

思路

首先考虑放置第一个棍子，它的位置可以任意选择，因此它所覆盖的长度为1。接下来考虑放置第二个棍子时覆盖的长度，我们将线段分成两段，设前一段长度为a，后一段长度为b，则第二个棍子覆盖的长度可以表示为：$min(a, b) + 1$。因为两段长度是随机的，因此需要对长度进行求期望，得到第二个棍子覆盖的期望长度为：

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} min(x, y) + 1 dy dx$$

其中x表示第一个棍子的位置。同理，我们可以计算出接下来放置的每个棍子所覆盖的期望长度，最终将所有期望长度相加即可得到放置n个棍子时这条线段被棍子所覆盖的期望长度。

代码

def f(x, y):
    return min(x, y) + 1

def expected_length(n):
    ans = 0
    for i in range(n):
        ans += integrate.dblquad(f, 0, 1-i/n, lambda x: 0, lambda x: 1-x)
    return ans[0]

print(expected_length(10))

上述代码使用Python实现了计算放置n个棍子时线段被棍子所覆盖的期望长度的函数expected_length，其中用到了scipy库中的dblquad函数来进行二重积分的计算。