门| GATE CS 2018 |问题 20

该问题是2018年GATE CS考试的第20个问题，涉及到二叉搜索树和叶子节点的计数。

题目描述

给定一个大小为N（N <= 10^4）的数组，其中每个元素都是唯一的，并且以递增顺序排序。我们需要将数组中的元素插入二叉搜索树中，并找到所有叶子节点的数量。

解答思路

题目要求我们将数组中的所有元素插入到二叉搜索树中，并计算叶子节点的数量。

插入二叉搜索树

我们可以按照以下的方式插入元素：

1. 如果树为空，则创建一个新的节点并返回它。
2. 如果元素小于当前节点的值，则将元素插入到左子树中。
3. 如果元素大于当前节点的值，则将元素插入到右子树中。
4. 如果元素等于当前节点的值，则返回节点。

使用上述算法，将数组中的所有元素插入到一个二叉搜索树中。

计算叶子节点数量

在二叉树中，叶子节点是没有子节点的节点。我们可以按照以下的方法计算叶子节点数量：

1. 如果节点为空，则返回0。
2. 如果节点不为空且没有左孩子和右孩子，则返回1。
3. 否则，递归计算左子树的叶子节点数量和右子树的叶子节点数量，将它们相加。

通过以上方法，我们可以计算出整个二叉搜索树中叶子节点的数量。

时间复杂度

在最坏情况下，将元素插入到树中的时间复杂度为O(NlogN)，因为我们将N个元素插入到树中，每次操作需要O(logN)的时间。计算叶子节点数量的时间复杂度为O(N)，因为我们需要遍历整个树。

代码实现

下面是一个示例实现，使用Python语言。

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.left_child = None
        self.right_child = None
        self.value = value

def insert(root, node):
    if root is None:
        root = node
    else:
        if node.value < root.value:
            if root.left_child is None:
                root.left_child = node
            else:
                insert(root.left_child, node)
        else:
            if root.right_child is None:
                root.right_child = node
            else:
                insert(root.right_child, node)

def count_leaves(node):
    if node is None:
        return 0
    elif node.left_child is None and node.right_child is None:
        return 1
    else:
        return count_leaves(node.left_child) + count_leaves(node.right_child)

def count_leaves_in_bst(arr):
    root = Node(arr[0])
    for i in range(1, len(arr)):
        insert(root, Node(arr[i]))
    return count_leaves(root)

总结

该问题考察了程序员对于二叉搜索树和叶子节点的理解和使用。在解决问题的过程中，我们需要了解如何将元素插入到二叉搜索树中，并计算叶子节点的数量。通过递归实现，我们可以很容易地计算二叉树中叶子节点的数量。在实际开发过程中，这种方法可以用于解决二叉树相关的问题。