📅 最后修改于: 2023-12-03 15:42:11.945000 🧑 作者: Mango
这是一道关于线性规划的问题，考察了线性规划的基本概念和求解方法。下面将从以下几个方面进行讲解：
有一家生产化肥的工厂，它生产两种类型的产品：A型和B型。A型产品的制造需要投入10kg的化学药品和6小时的生产时间，B型产品的制造需要投入5kg的化学药品和5小时的生产时间。如果每天的化学药品的供应量为100kg，生产时间只有60小时，请问工厂每天应该生产多少量的A型和B型产品，才能使得总销售收入最大？
该问题可以使用线性规划来求解，具体如下。
设工厂每天生产A型产品的数量为 $x_1$，B型产品的数量为 $x_2$。则其数学模型的不等式约束如下：
\begin{align} 10x_1 +5x_2 &\leq 100 \ 6x_1+5x_2 &\leq 60 \ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \end{align}
同时，其目标函数为最大化销售收入 $Z=50x_1+40x_2$。
对于该线性规划问题，我们使用单纯形法来求解。具体过程如下：
\begin{array}{|c|ccccc|c|} \hline \text{基变量} & x_3 & x_1 & x_2 & s_1 & s_2 & \text{常数项} \ \hline x_3 & 1 & 10 & 5 & 0 & 0 & 100 \ s_1 & 0 & 6 & 5 & 1 & 0 & 60 \ s_2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ \hline \text{目标函数} & 0 & 50 & 40 & 0 & 0 & 0 \ \hline \end{array}
选择最优进入变量。根据最大化目标函数，选择 $x_1$ 作为最优进入变量。
选择最优离开变量。根据约束条件，$x_1$ 对应的限制最紧，即 $x_1$ 的系数 $10$ 在所有系数中最小。因此，$x_1$ 是最优离开变量。
进行主元变换，将 $x_1$ 从基变量中移除，同时将 $x_3$ 加入基变量中。
\begin{array}{|c|ccccc|c|} \hline \text{基变量} & x_1 & s_1 & x_2 & s_3 & s_2 & \text{常数项} \ \hline x_1 & 1/10 & 3/20 & 1/10 & 0 & 0 & 10 \ s_1 & 6/10 & 1/10 & 1/10 & 1/10 & 0 & 6 \ s_2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ \hline \text{目标函数} & 0 & 7/2 & 3/2 & 0 & 0 & 250 \ \hline \end{array}
根据最终的结果，工厂每天应该生产40kg的A型产品和2kg的B型产品，才能使得总销售收入最大。由于每天的化学药品的供应量只有100kg，生产时间只有60小时，因此该最优解是可行的。此外，该模型的最优解是唯一的，因此我们得出了该问题的唯一最优解。