门 | GATE CS 2018 | 问题 8

本篇文章将简要介绍 GATE CS 2018 问题 8，该题是一道关于图形与计算机图形学的题目，要求考生设计一个算法以实现将一个大三角形分割成若干个小三角形。

题目描述

给定一个大三角形和一个整数 $n$，将该三角形分割成 $n$ 个三角形且每个三角形的周长相等。分割后必须满足以下条件:

1. 所有三角形都必须是等腰三角形。
2. 所有等腰三角形的周长必须相等。
3. 分割后的三角形不能相交或重叠。

思路分析

首先，我们可以根据输入的三角形的宽和高来计算出三角形的面积，假设其为 $S$。因为我们需要将三角形进行等分，所以每个小三角形的面积应该为 $\frac{S}{n}$。

有了每个小三角形的面积，我们需要考虑如何进行分割。显而易见的是，我们应该尝试将大三角形分割成若干个相同面积的小三角形。因为题目要求分割后的三角形都是等腰三角形，所以我们可以考虑对于任意等腰三角形，其顶部的角度将影响底部的宽度。考虑到输入的三角形是一个大三角形，我们需要将其分割成若干个以顶角为点，底部为水平线的等腰三角形。

为了实现这样的分割，我们可以尝试按照以下步骤进行：

1. 找到大三角形的底部中心点，将其标记为起点 $P_0$。
2. 将大三角形的高度标记为 $H$，将其底边长度标记为 $L$。
3. 计算出尖端角 $\theta = 2\sin^{-1}(\frac{\sqrt{\frac{S}{n}}}{L})$。
4. 初始化当前三角形的底边长度 $C = 0$。
5. 重复以下步骤直到大三角形完全被分割为止：
   1. 计算出当前小三角形的面积为 $\frac{S}{n}$。
   2. 计算出当前小三角形的高度为 $h = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{C}{\tan\frac{\theta}{2}}$。
   3. 计算出当前小三角形的底边长度为 $c = \frac{2A}{h}$，其中 $A$ 为当前小三角形的面积。
   4. 根据当前小三角形的底边长度和高度绘制出等腰三角形，并将其加入到计算结果中。
   5. 更新当前小三角形的底边长度 $C = C + c$。

代码实现

下面是 Python 代码的实现。其中 draw_triangle() 函数用于绘制等腰三角形。更详细的代码注释请参考下文。

def draw_triangle(x, y, w, h):
    """绘制等腰三角形"""
    points = [(x, y), (x + w, y), (x + w // 2, y + h)]
    turtle.penup()
    turtle.goto(*points[0])
    turtle.pendown()
    for point in points:
        turtle.goto(*point)
    turtle.goto(*points[0])
    turtle.penup()
    turtle.hideturtle()

def main(n, width, height):
    """分割大三角形为小三角形"""
    turtle.speed(0)  # 加快绘制速度
    turtle.hideturtle()  # 隐藏海龟
    turtle.tracer(0, 0)  # 禁止绘制时刷新

    # 找到大三角形的底部中心点并标记为起点 P0
    P0 = (-width // 2, -height // 2)
    x, y = P0
    h = height
    L = width

    # 计算尖端角 theta
    theta = 2 * math.asin(math.sqrt(S / n) / L)

    # 初始化当前三角形底边长度 C
    C = 0

    # 重复分割大三角形，直到大三角形被完全分割
    while C < L / 2:
        # 计算当前小三角形的面积
        A = S / n

        # 计算当前小三角形的高度 h 和底边长度 c
        h = math.sqrt(3) / 2 * C / math.tan(theta / 2)
        c = 2 * A / h

        # 绘制当前小三角形并更新 C
        draw_triangle(x + C + c / 2, y + h / 2, c, h)
        C += c

    turtle.update()  # 刷新绘图
    turtle.done()  # 结束绘制

结论

本题要求我们设计一个算法以将一个大三角形分割成若干个小三角形，且每个三角形的周长相等。为此，我们可以根据输入的三角形计算出其面积 $S$，然后尝试将其分割成若干个相同面积的小三角形。为了实现这样的分割，我们可以计算出分割后每个小三角形的高度和底边长度，并根据它们绘制出等腰三角形。最终，我们可以将这些等腰三角形组合起来，以实现将大三角形分割成若干个小三角形的目的。