门| GATE CS 2018 |问题 3

这道题是2018年GATE计算机科学考试的第三个问题，主要考察学生对通过真值表和逻辑代数转换来简化逻辑表达式的理解和应用能力。

题目描述

给定一个逻辑表达式F(x,y,z)，如下：

F(x,y,z) = (x.y') + (x'.y.z') + y

用最少的逻辑门实现F(x,y,z)。

解题思路

我们可以通过真值表来求解这个问题：

| x | y | z | F(x,y,z) |
|---|---|---|---------|
| 0 | 0 | 0 |    1    |
| 0 | 0 | 1 |    0    |
| 0 | 1 | 0 |    1    |
| 0 | 1 | 1 |    1    |
| 1 | 0 | 0 |    0    |
| 1 | 0 | 1 |    1    |
| 1 | 1 | 0 |    1    |
| 1 | 1 | 1 |    1    |

我们可以将真值表中F(x,y,z)=1的行合并，将每个组合合并成一个包含最少变量的逻辑表达式。

F(x,y,z) = (y + z').x' + y.z

然后，我们可以将这个逻辑表达式进一步转换为逻辑门的形式，如下：

F(x,y,z) = (y + z').x' + y.z
        = ((y + z') . x') + (y . z)
        = (y . z) + (y . z' . x') + (y . z)
        = y + (z . x')
        = y + (z' . x')'

我们可以使用一个与门和两个或门来实现上述表达式，如下：

F(x,y,z) = y + (z' . x')'

| x | y | z | x' | z' | z'.x' | F(x,y,z) | |---|---|---|----|----|-------|---------| | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |

其中，第一和最后一个或门输出的是 y 和 (z' . x')'。

总结

本题主要考察了学生对真值表和逻辑代数的理解和应用，以及对逻辑门的基本掌握程度。真值表是一种非常有用的工具，可以帮助我们找到逻辑表达式的最简形式。在使用逻辑代数简化表达式时，我们需要熟练掌握各种逻辑运算符的优先级和结合律，并注意运算规则的正确性。在选择逻辑门时，我们需要选择合适的门来实现逻辑表达式，同时注意使用最少的门进行实现。