如何使用 De Moivre 定理化简 (-2 + 2i)8？

De Moivre 定理是一个用于求幂的公式，它可以有效地简化复数的指数运算问题。以下是使用 De Moivre 定理来计算 $(-2 + 2i)^8$ 的步骤：

步骤1：将复数 $-2+2i$ 转换成极坐标形式

首先，我们需要将 $-2+2i$ 转换成极坐标形式。记 $z=-2+2i$，则 $|z|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\operatorname{arg}z=\arctan{\frac{2}{-2}}=-\frac{\pi}{4}+\pi=-\frac{\pi}{4}+2\pi$，即 $\operatorname{arg}z=\frac{7\pi}{4}$。因此，$-2+2i$ 的极坐标形式为 $2\sqrt{2}\operatorname{cis}\frac{7\pi}{4}$。

注：$\operatorname{cis}\theta$ 表示 $e^{i\theta}$，其中 $\theta$ 是以弧度为单位的角度。

步骤2：应用 De Moivre 定理

根据 De Moivre 定理，我们可以得到 $(2\sqrt{2}\operatorname{cis}\frac{7\pi}{4})^8=2^8\cdot(\sqrt{2})^8\cdot\operatorname{cis}2\pi=256\operatorname{cis}0=256$。

因此，$(-2+2i)^8$ 的值为 $256$。

代码实现

如果需要在程序中实现这个计算过程，可以使用下面的代码片段：

import cmath

z = -2 + 2j
r = abs(z)
theta = cmath.phase(z)
z_polar = cmath.rect(r, theta)
result = pow(z_polar, 8)

print(result)

这里使用 Python 内置的 cmath 模块来实现复数相关的运算。其中，abs(z) 和 cmath.phase(z) 分别可以计算复数 $z$ 的模长和辐角，cmath.rect(r, theta) 可以根据给定的模长和辐角计算复数的极坐标形式，pow(z_polar, 8) 可以将复数的幂运算转换成极坐标形式下的幂运算，并返回极坐标形式下的结果。