如何使用 DeMoivre 定理化简 [2(cos π/3 + i sin π/3)] ⁵ ？

复数是 a + ib 形式的数字，其中 a 和 b 是实数，i (iota) 是虚数部分，表示 √(-1)，通常以矩形或标准形式表示。例如，10 + 5i 是一个复数，其中 10 是实部，5i 是虚部。

复数的极坐标形式

在这里，实部和虚部的极坐标被写成描述复数。数轴相对于实轴即x轴倾斜的角度用θ表示。线表示的长度称为其模数，用字母 r 表示。下图将 a 和 b 分别描绘为实部和虚部，OP = r 是模数。

显然，毕达哥拉斯定理可以用于计算长度 r。可以使用三角比计算参数。因此，对于 z = p + iq 形式的复数，其极坐标形式如下：

r = 模数[cos（参数）+ isin（参数）]

或者，z = r[cosθ + isinθ]

这里，r = $\sqrt{p^2+q^2}$和 θ = tan ^-1 {q/p}。

德莫弗定理

基本上，极坐标形式只是在其索引为 1 的情况下表示给定复数的另一种方式。如果给定复数的指数超过 1，则需要对其进行评估/扩展，这就是 DeMoivre 定理进入图片。为了根据给定的指数展开一个复数，首先需要将它转换成它的极坐标形式，它使用它的模数和参数作为它的成分。然后应用 DeMoivre 定理，该定理陈述如下，

公式

对于say的所有实值，一个数字x，

(cos x + isinx) ⁿ = cos(nx) + isin(nx),

其中 n 可以假设任何有理值。

如何使用 DeMoivre 定理化简 [2(cos π/3 + i sin π/3)] ⁵ ？

解决方案：

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

$[2(cos(\frac{\pi}{3})+ i\ sin(\frac{\pi}{3})]^5$ = $2^5[cos(\frac{5\pi}{3})+i\ sin(\frac{5\pi}{3})]$

= $2^5(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})$

= 24(1 – i√3)

Hence, [2(cos pi/3 + i sin pi/3)]⁵ = 24 – 24√3i.

类似问题

问题 1：展开 [√2(cos pi/4+i sin pi/4] ¹⁰ 。

解决方案：

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[\sqrt{2}(cos(\frac{π}{4})+ i sin(\frac{π}{4})]^{10} = (\sqrt2)^{10}[cos(\frac{10π}{4})+i\ sin(\frac{10π}{4})]$

= 32(0 + (-i)

= -32i

Hence, [√2(cos pi/4 + i sin pi/4)]¹⁰ = -32i.

问题 2：展开 [√2(cos π/4 +i sin π/4)] ⁵ 。

解决方案：

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[\sqrt{2}cos(\frac{π}{4})+i\ sin(\frac{π}{4})]^5 = (\sqrt{2})^{5}[cos(\frac{5\pi}{4})+i\ sin(\frac{5\pi}{4})]$

= -4 – 4i

Hence, [√2(cos π/4 +i sin π/4)]⁵ = -4 – 4i.

问题 3. 展开$[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6$ .

解决方案：

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6 = (2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{6\pi}{4})+i\ sin(\frac{6\pi}{4})]$

= 512 (-i)

= -512i

Hence, $[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6$ = -512i.

问题 4. 展开$[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{18}$

解决方案：

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{18} = (\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{18\pi}{4})+i\ sin(\frac{18\pi}{4})]$

= 512i
Hence, $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{18}$ = 512i.

问题 5. 展开$[2\sqrt{3}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{31}$ .

解决方案：

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[2\sqrt{3}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{31} = (\sqrt{2})^{31}[cos(\frac{31\pi}{4})+i\ sin(\frac{31\pi}{4})]$.