如何使用 DeMoivre 定理化简 z^4 + 8√3 – 8i = 0？

DeMoivre 定理是用于计算幂次的公式，它给出了幂次为正整数的负数幂的值。它的应用可以用于化简一些复杂的方程式。在这里，我们将展示如何使用 DeMoivre 定理化简一个方程。

步骤

1. 我们从方程中得到一个复数 z，它满足 z^4 + 8√3 – 8i = 0。
2. 我们可以使用 DeMoivre 定理将 z 写成极坐标的形式。公式为：z = r(cosθ + i sinθ)。
3. 然后将 z^4 写成极坐标的形式：z^4 = r^4(cos4θ + i sin4θ)。
4. 然后将 8√3 - 8i 也写成极坐标的形式：8(cos(-π/6) + i sin(-π/6))。
5. 将步骤 3 和步骤 4 代入方程式：r^4(cos4θ + i sin4θ) + 8(cos(-π/6) + i sin(-π/6)) = 0。
6. 我们可以将方程式中的实部和虚部分别相等。即，r^4 cos4θ + 8 cos(-π/6) = 0 和 r^4 sin4θ + 8 sin(-π/6) = 0。
7. 根据步骤 6 的等式，我们可以得到 4θ = (2n + 1)π/2（其中 n 是整数）。因为 4θ = π/3, π, 7π/3, 0 的其中之一，所以我们分别计算时得到 θ = π/12, π/4, 7π/12, 0。
8. 根据步骤 6 的等式，我们可以得到 r^4 = -8/ cos4θ = 16。因此，r = 2。
9. 将 r 和 θ 代入 z = r(cosθ + i sinθ)。我们得到的四个根是： 2(cosπ/12 + i sinπ/12), 2(cosπ/4 + i sinπ/4), 2(cos7π/12 + i sin7π/12), 2(cos0 + i sin0)。

因此，z^4 + 8√3-8i = 0 的解为 2(cosπ/12 + i sinπ/12), 2(cosπ/4 + i sinπ/4), 2(cos7π/12 + i sin7π/12), 2(cos0 + i sin0)。

代码实现

import cmath

def solve_complex_equation():
    z = cmath.rect(2, cmath.pi/12)
    print(f"z1 = {z}")
    
    z = cmath.rect(2, cmath.pi/4)
    print(f"z2 = {z}")
    
    z = cmath.rect(2, 7*cmath.pi/12)
    print(f"z3 = {z}")
    
    z = cmath.rect(2, 0)
    print(f"z4 = {z}")
solve_complex_equation()

结论

扩展 DeMoivre 定理可以用于更高次数的幂值计算。在这个例子中，我们把方程式转换成了极坐标的形式，从而解决了方程的根。这个过程是一步步清晰的，所以使用 DeMoivre 定理可以帮助我们解决复杂的方程式，并在一定程度上方便了计算。