如何使用 DeMoivre 定理化简 (1 + √3i)6？

DeMoivre 定理是用来计算幂次方的公式，它的公式如下：

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

其中，$i$ 表示虚数单位，$\theta$ 是角度，$n$ 是一个整数。DeMoivre 定理对于复数的幂次方运算非常有用，可以通过这个公式简化复数乘幂次方的运算。

现在我们来看如何用 DeMoivre 定理化简 $(1 + \sqrt{3}i)^6$。

首先，我们需要将 $(1 + \sqrt{3}i)$ 转换成极坐标形式：

$$1 + \sqrt{3}i = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$$

因为 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以：

$$1 + \sqrt{3}i = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$$

然后，我们可以根据 DeMoivre 定理计算 $(1 + \sqrt{3}i)^6$：

$$(1 + \sqrt{3}i)^6 = [2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})]^6 = 2^6(\cos6\frac{\pi}{3} + i\sin6\frac{\pi}{3})$$

因为 $\cos6\frac{\pi}{3} = \cos2\pi = 1$，$\sin6\frac{\pi}{3} = \sin2\pi = 0$，所以：

$$(1 + \sqrt{3}i)^6 = 2^6(\cos6\frac{\pi}{3} + i\sin6\frac{\pi}{3}) = 64$$

因此，$(1 + \sqrt{3}i)^6$ 的值为 64。

代码实现

下面是 Python 代码实现：

import math

# 将复数转换成极坐标形式
def to_polar(z):
    r = abs(z)
    theta = math.atan2(z.imag, z.real)
    return (r, theta)

# 用 DeMoivre 定理计算幂次方
def power(z, n):
    r, theta = to_polar(z)
    theta *= n
    return complex(r ** n * math.cos(theta), r ** n * math.sin(theta))

# 计算 (1 + sqrt(3)i)^6
z = complex(1, math.sqrt(3))
z6 = power(z, 6)
print(z6.real)  # 输出 64.0

以上代码实现了将复数转换成极坐标形式，以及用 DeMoivre 定理计算幂次方的功能。我们选取了 Python 作为代码实现语言，因为 Python 内置了复数类型和基本的三角函数运算，非常适合进行 DeMoivre 定理的计算。最后，我们得到的结果是 64，与手工计算的结果一致。