门|门 CS 1996 |问题 27

问题描述

题目来源自1996年第一届“门·门”全国大学生程序设计联赛省选赛。

问题描述如下：

有 n（1≤n≤100）扇门，初始都关着。第 1 个人把每一扇门都打开，第 2 个人把编号为 2 的倍数的门关上，第 3 个人把编号为 3 的倍数的门开关（关掉的门开，开着的门关），第 4 个人把编号为 4 的倍数的门开关（关掉的门开，开着的门关），以此类推，直到第 k 个人。求最后有哪些门是开着的。

解题思路

我们可以使用一个长度为 n 的布尔数组来表示在每一个时刻，是否有相应编号的门是开着的。最开始所有门都是关闭的，因此初始数组所有元素都是 False。

然后依次执行每个人的操作， 更新布尔数组中每个需要更改的元素，将其状态取反。比如第 2 个人需要将编号是 2 的倍数的门关闭，我们就遍历这个数组，将所有下标为 2、4、6 等等的元素取反。同理，第 3 个人需要将编号是 3 的倍数的门重新开启，我们遍历修改所有下标为 3、6、9 等等的元素。最后遍历一次整个数组，将值为 True 的下标存储下来，即为最终开着的门的编号。

由于每个人操作的编号都是一次性全部列出来的，因此遍历布尔数组的过程可以只进行一次，即可完成所有操作。

代码实现

采用 Python 语言实现代码如下：

n = int(input())  # 读入门的数量
doors = [False] * n  # 初始化所有门都是关闭的

for i in range(1, n+1):
    for j in range(i, n+1, i):
        doors[j-1] = not doors[j-1]  # 将需要更改的门的状态取反

for i in range(n):
    if doors[i]:
        print(i+1)  # 输出最终开着的门的编号

总结

本题并没有太高的难度，只是要求一定的编程思维和实现能力。使用数组来表示门的状态是在程序实现时必须掌握的技巧，求解过程中需要理解每个人的具体操作，将其映射到数组上进行实现，最终得出正确的答案。这类问题在日常编程中也比较常见，增强我们对数组类型数据的理解。