使用 Myhill-Nerode 定理最小化 DFA

使用 Myhill-Nerode 定理最小化 DFA：
需要最小化 DFA 以获得任何 DFA 的最小和等效版本，该版本由可能的最少状态数组成。 Myhill-Nerode 定理可用于将 DFA 转换为具有最少状态的等效 DFA。这种最小化方法也称为表格填充法。还有另一种方法称为分区方法或等效方法用于最小化 DFA（请访问 https://www.geeksforgeeks.org/minimization-of-dfa/ 了解等效/分区方法）。

最小化 DFA 的步骤：

1. 创建给定 DFA 中涉及的所有状态的对。
2. 标记所有对 (Q _a ,Q _b )，使得 Q _a是最终状态，Qb 是非最终状态。
3. 如果有任何未标记的对 (Qa,Qb) 使得 δ(Qa,x) 和 δ(Q _b ,x) 被标记，则标记 (Qa,Qb)。这里 x 是输入符号。重复此步骤，直到无法再进行标记。
4. 组合所有未标记的对，使它们成为最小化 DFA 中的单个状态。

例子

考虑以下 DFA，

以下是上述 DFA 的转换表

使用 Myhill-Nerode Theorem 最小化上述 DFA：

步骤 1：创建 DFA 中涉及的所有状态的对。

步骤 2：标记所有对 (Qa,Qb)，使得 Qa 是最终状态，Qb 是非最终状态。

Step-3：如果存在任何未标记的对(Qa,Qb)，使得δ(Qa,x)和δ(Qb,x)被标记，则标记(Qa,Qb)。这里 x 是输入符号。重复此步骤，直到无法再进行标记。

• 检查未标记的对 Q2,Q1
  • 检查 x=0 时：δ(Q2,0) = Q4 和 δ(Q1,0) = Q3，检查 Q4,Q3 对是否已标记，否则未标记。
  • 检查 x=1 时：δ(Q2,1) = Q3 和 δ(Q1,1) = Q4，检查 Q4,Q3 对是否标记，否则不标记。
  • 因此我们不能标记对 Q2,Q1。
• 检查未标记的对 Q3,Q0
  • 检查 x=0 时：δ(Q3,0) = Q5 和 δ(Q0,0) = Q1，检查 Q5,Q1 对是否已标记，否则未标记。
  • 检查 x=1 时：δ(Q3,1) = Q5 和 δ(Q0,1) = Q2，检查 Q5,Q2 对是否标记，否则不标记。
  • 因此我们不能标记对 Q3,Q0。
• 检查未标记的对 Q4,Q0
  • 检查 x=0 时：δ(Q4,0) = Q5 和 δ(Q0,0) = Q1，检查 Q5,Q1 对是否已标记，否则未标记。
  • 检查 x=1 时：δ(Q4,1) = Q5 和 δ(Q0,1) = Q2，检查 Q5,Q2 对是否已标记，否则未标记。
  • 因此我们不能标记 Q4,Q0 对。
• 检查未标记的对 Q4,Q3
  • 检查 x=0 时：δ(Q4,0) = Q5 和 δ(Q3,0) = Q5，这样的状态对 Q5,Q5 不存在。
  • 检查 x=1 时：δ(Q4,1) = Q5 和 δ(Q3,1) = Q5，这样的状态对 Q5,Q5 不存在。
  • 因此，我们无法标记 Q4、Q3 对。
• 检查未标记的对 Q5,Q1
  • 检查 x=0 时：δ(Q5,0) = Q5 和 δ(Q1,0) = Q3，检查 Q5,Q3 对是否被标记，是的，它被标记。
  • 因此我们可以标记对 Q5,Q1。

• 检查未标记的对 Q5,Q2
  • 检查 x=0 时：δ(Q5,0) = Q5 和 δ(Q2,0) = Q4，检查 Q5,Q4 对是否被标记，是的，它被标记。
  • 因此我们可以标记对 Q5,Q2。

• 我们已经检查了所有未标记的对，但不需要在这里停止，我们需要继续此过程，直到无法再进行标记。
• 检查未标记的对 Q2,Q1
  • 检查 x=0 时：δ(Q2,0) = Q4 和 δ(Q1,0) = Q3，检查 Q4,Q3 对是否已标记，否则未标记。
  • 检查 x=1 时：δ(Q2,1) = Q3 和 δ(Q1,1) = Q4，检查 Q4,Q3 对是否标记，否则不标记。
  • 因此我们不能标记对 Q2,Q1。
• 检查未标记的对 Q3,Q0
  • 检查 x=0 时：δ(Q3,0) = Q5 和 δ(Q0,0) = Q1，检查 Q5,Q1 对是否被标记，是的，它被标记。
  • 因此我们可以标记对 Q3,Q0。

• 检查未标记的对 Q4,Q0
  • 检查 x=0 时：δ(Q4,0) = Q5 和 δ(Q0,0) = Q1，检查 Q5,Q1 对是否已标记，是的，已标记。
  • 因此我们不能标记 Q4,Q0 对。

• 检查未标记的对 Q4,Q3
  • 检查 x=0 时：δ(Q4,0) = Q5 和 δ(Q3,0) = Q5，这样的状态对 Q5,Q5 不存在。
  • 检查 x=1 时：δ(Q4,1) = Q5 和 δ(Q3,1) = Q5，这样的状态对 Q5,Q5 不存在。
  • 因此，我们无法标记 Q4、Q3 对。
• 现在即使我们重复这个过程，我们也不能标记 Q2,Q1（因为 Q4,Q3 没有标记）和 Q4,Q3（因为 Q5,Q5 这样的状态对不存在。）。因此我们停在这里。

Step-4：组合所有未标记的对，并将它们作为最小化 DFA 中的单个状态。

• 未标记的对是 Q2、Q1 和 Q4、Q3，因此我们将它们组合在一起。

以下是以 Q1Q2 和 Q3Q4 作为组合状态的最小化 DFA。

• Q0 仍然是我们的起始状态。
• Q1 和 Q2 是我们的最终状态，因此即使我们将它们组合起来，它们仍将保持为组合的最终状态。
• Q5 是我们拥有的另一个最终状态。
• 如果我们检查原始的转换表
  • δ(Q0,0) 为 Q1，δ(Q1,1) 为 Q2。随着状态的组合，输入 0 和 1 上的 Q0 的转换将变为状态 Q1Q2。
  • δ(Q1,0) 为 Q3，δ(Q1,1) 为 Q4，δ(Q2,0) 为 Q4，δ(Q1,1) 为 Q3。随着状态的组合，输入 0 和 1 上的 Q1Q2 的转换将变为状态 Q3Q4。
  • δ(Q3,0) 为 Q5，δ(Q3,1) 为 Q5，δ(Q4,0) 为 Q5，δ(Q4,1) 为 Q5。随着状态的组合，输入 0 和 1 上的 Q3Q4 的转换将变为状态 Q5。
  • δ(Q5,0) 为 Q5，δ(Q5,1) 为 Q5。因此，两个输入上的状态 Q5 的转换将是状态 Q5 本身。

最小化 DFA 的转换表