📜  使用 Myhill-Nerode 定理最小化 DFA

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:10.447000             🧑  作者: Mango

使用 Myhill-Nerode 定理最小化 DFA

使用 Myhill-Nerode 定理最小化 DFA:
需要最小化 DFA 以获得任何 DFA 的最小和等效版本,该版本由可能的最少状态数组成。 Myhill-Nerode 定理可用于将 DFA 转换为具有最少状态的等效 DFA。这种最小化方法也称为表格填充法。还有另一种方法称为分区方法或等效方法用于最小化 DFA(请访问 https://www.geeksforgeeks.org/minimization-of-dfa/ 了解等效/分区方法)。

最小化 DFA 的步骤:

  1. 创建给定 DFA 中涉及的所有状态的对。
  2. 标记所有对 (Q a ,Q b ),使得 Q a是最终状态,Qb 是非最终状态。
  3. 如果有任何未标记的对 (Qa,Qb) 使得 δ(Qa,x) 和 δ(Q b ,x) 被标记,则标记 (Qa,Qb)。这里 x 是输入符号。重复此步骤,直到无法再进行标记。
  4. 组合所有未标记的对,使它们成为最小化 DFA 中的单个状态。

例子

考虑以下 DFA,

以下是上述 DFA 的转换表

使用 Myhill-Nerode Theorem 最小化上述 DFA:

步骤 1:创建 DFA 中涉及的所有状态的对。

步骤 2:标记所有对 (Qa,Qb),使得 Qa 是最终状态,Qb 是非最终状态。

Step-3:如果存在任何未标记的对(Qa,Qb),使得δ(Qa,x)和δ(Qb,x)被标记,则标记(Qa,Qb)。这里 x 是输入符号。重复此步骤,直到无法再进行标记。

  • 检查未标记的对 Q2,Q1
    • 检查 x=0 时:δ(Q2,0) = Q4 和 δ(Q1,0) = Q3,检查 Q4,Q3 对是否已标记,否则未标记。
    • 检查 x=1 时:δ(Q2,1) = Q3 和 δ(Q1,1) = Q4,检查 Q4,Q3 对是否标记,否则不标记。
    • 因此我们不能标记对 Q2,Q1。
  • 检查未标记的对 Q3,Q0
    • 检查 x=0 时:δ(Q3,0) = Q5 和 δ(Q0,0) = Q1,检查 Q5,Q1 对是否已标记,否则未标记。
    • 检查 x=1 时:δ(Q3,1) = Q5 和 δ(Q0,1) = Q2,检查 Q5,Q2 对是否标记,否则不标记。
    • 因此我们不能标记对 Q3,Q0。
  • 检查未标记的对 Q4,Q0
    • 检查 x=0 时:δ(Q4,0) = Q5 和 δ(Q0,0) = Q1,检查 Q5,Q1 对是否已标记,否则未标记。
    • 检查 x=1 时:δ(Q4,1) = Q5 和 δ(Q0,1) = Q2,检查 Q5,Q2 对是否已标记,否则未标记。
    • 因此我们不能标记 Q4,Q0 对。
  • 检查未标记的对 Q4,Q3
    • 检查 x=0 时:δ(Q4,0) = Q5 和 δ(Q3,0) = Q5,这样的状态对 Q5,Q5 不存在。
    • 检查 x=1 时:δ(Q4,1) = Q5 和 δ(Q3,1) = Q5,这样的状态对 Q5,Q5 不存在。
    • 因此,我们无法标记 Q4、Q3 对。
  • 检查未标记的对 Q5,Q1
    • 检查 x=0 时:δ(Q5,0) = Q5 和 δ(Q1,0) = Q3,检查 Q5,Q3 对是否被标记,是的,它被标记。
    • 因此我们可以标记对 Q5,Q1。

  • 检查未标记的对 Q5,Q2
    • 检查 x=0 时:δ(Q5,0) = Q5 和 δ(Q2,0) = Q4,检查 Q5,Q4 对是否被标记,是的,它被标记。
    • 因此我们可以标记对 Q5,Q2。

  • 我们已经检查了所有未标记的对,但不需要在这里停止,我们需要继续此过程,直到无法再进行标记。
  • 检查未标记的对 Q2,Q1
    • 检查 x=0 时:δ(Q2,0) = Q4 和 δ(Q1,0) = Q3,检查 Q4,Q3 对是否已标记,否则未标记。
    • 检查 x=1 时:δ(Q2,1) = Q3 和 δ(Q1,1) = Q4,检查 Q4,Q3 对是否标记,否则不标记。
    • 因此我们不能标记对 Q2,Q1。
  • 检查未标记的对 Q3,Q0
    • 检查 x=0 时:δ(Q3,0) = Q5 和 δ(Q0,0) = Q1,检查 Q5,Q1 对是否被标记,是的,它被标记。
    • 因此我们可以标记对 Q3,Q0。

  • 检查未标记的对 Q4,Q0
    • 检查 x=0 时:δ(Q4,0) = Q5 和 δ(Q0,0) = Q1,检查 Q5,Q1 对是否已标记,是的,已标记。
    • 因此我们不能标记 Q4,Q0 对。

  • 检查未标记的对 Q4,Q3
    • 检查 x=0 时:δ(Q4,0) = Q5 和 δ(Q3,0) = Q5,这样的状态对 Q5,Q5 不存在。
    • 检查 x=1 时:δ(Q4,1) = Q5 和 δ(Q3,1) = Q5,这样的状态对 Q5,Q5 不存在。
    • 因此,我们无法标记 Q4、Q3 对。
  • 现在即使我们重复这个过程,我们也不能标记 Q2,Q1(因为 Q4,Q3 没有标记)和 Q4,Q3(因为 Q5,Q5 这样的状态对不存在。)。因此我们停在这里。

Step-4:组合所有未标记的对,并将它们作为最小化 DFA 中的单个状态。

  • 未标记的对是 Q2、Q1 和 Q4、Q3,因此我们将它们组合在一起。

以下是以 Q1Q2 和 Q3Q4 作为组合状态的最小化 DFA。

  • Q0 仍然是我们的起始状态。
  • Q1 和 Q2 是我们的最终状态,因此即使我们将它们组合起来,它们仍将保持为组合的最终状态。
  • Q5 是我们拥有的另一个最终状态。
  • 如果我们检查原始的转换表
    • δ(Q0,0) 为 Q1,δ(Q1,1) 为 Q2。随着状态的组合,输入 0 和 1 上的 Q0 的转换将变为状态 Q1Q2。
    • δ(Q1,0) 为 Q3,δ(Q1,1) 为 Q4,δ(Q2,0) 为 Q4,δ(Q1,1) 为 Q3。随着状态的组合,输入 0 和 1 上的 Q1Q2 的转换将变为状态 Q3Q4。
    • δ(Q3,0) 为 Q5,δ(Q3,1) 为 Q5,δ(Q4,0) 为 Q5,δ(Q4,1) 为 Q5。随着状态的组合,输入 0 和 1 上的 Q3Q4 的转换将变为状态 Q5。
    • δ(Q5,0) 为 Q5,δ(Q5,1) 为 Q5。因此,两个输入上的状态 Q5 的转换将是状态 Q5 本身。

最小化 DFA 的转换表