使用 Myhill-Nerode 定理最小化 DFA

在编写程序的过程中，我们经常需要设计有限状态自动机（DFA）以实现某些功能。而最小化 DFA 可以大大减少内存占用和运行时间。

Myhill-Nerode 定理是一种自动机最小化的方法，它基于「等价关系」的概念来确定两个状态/状态集合是否等价，从而将 DFA 中的状态数目最小化。

等价关系

在介绍 Myhill-Nerode 定理之前，我们需要了解等价关系的概念。

等价关系是一种满足三个条件的二元关系。对于所有 $a, b, c \in S$（$S$ 为集合）：

1. 自反性：$a$ 与 $a$ 等价；
2. 对称性：如果 $a$ 与 $b$ 等价，则 $b$ 与 $a$ 等价；
3. 传递性：如果 $a$ 与 $b$ 等价，$b$ 与 $c$ 等价，则 $a$ 与 $c$ 等价。

在 DFA 中，两个状态的等价性表示这两个状态能否被一个等价类替换。

Myhill-Nerode 定理

对于 DFA 语言 $L$，我们可以通过建立等价关系来计算其最小 DFA。

首先，我们定义一个关系 $R_L$，若字符串 $x$ 和 $y$ 满足：

$$ xz \in L \Leftrightarrow yz \in L $$

则 $x$ 和 $y$ 在 $R_L$ 中等价。即，如果对于任何在 $L$ 中的字符串 $z$，$xz$ 和 $yz$ 都在 $L$ 中或者都不在 $L$ 中，则 $x$ 和 $y$ 在 $R_L$ 中等价。

上述关系具有等价关系的所有性质：

1. 对于任何字符串 $x$，$xz$ 与 $xz$ 等价；
2. 如果 $xz$ 与 $yz$ 等价，则 $yz$ 与 $xz$ 等价；
3. 如果 $xz$ 与 $yz$ 等价，$yz$ 与 $wz$ 等价，则 $xz$ 与 $wz$ 等价。

根据此等价关系，我们可以将 DFA 状态划分为不同的等价类。这样一来，对于每个等价类，我们可以确定一个最小化 DFA 的状态，并将原有的状态映射到新的状态。

实例

考虑以下 DFA：

我们首先构造出 DFA 的转移表：

| | a | b | |---|---|---| | S | B | A | | A | C | D | | B | A | C | | C | B | E | | D | F | G | | E | F | G | | F | H | I | | G | H | I | | H | H | H | | I | I | I |

按照 Myhill-Nerode 定理，我们需要将状态划分为等价类。我们随机选择几个字符串作为代表元素，比较它们的后缀字符串是否属于同一集合：

• 代表元素：S，该状态和其他状态的后缀字符串在 $L$ 中的结果：

  • $Sa, Ba$：$L$ 中，等价
  • $Sb, Ac, De, Ef, Fh, Gi$：$L$ 中，等价

  故状态 S 等价于状态 B, A, C, D, E, F, G, H, I，它们被分为一等价类。

• 代表元素：A，该状态和其他状态的后缀字符串在 $L$ 中的结果：

  • $Aa, Bb$：$L$ 中，等价
  • $Ac, De, Ef, Fh, Gi$：$L$ 中，等价

  故状态 A 等价于状态 B, C, D, E, F, G, H, I，它们被分为一等价类。

• 代表元素：C，该状态和其他状态的后缀字符串在 $L$ 中的结果：

  • $Ca, Db$：$L$ 中，等价
  • $Ce, Fh, Gi$：$L$ 中，等价

  故状态 C 等价于状态 B, A, D, E, F, G, H, I，它们被分为一等价类。

• 代表元素：D，该状态和其他状态的后缀字符串在 $L$ 中的结果：

  • $Da, Ee$：$L$ 中，等价
  • $Df, Gi, Hh$：$L$ 中，等价

  故状态 D 等价于状态 B, A, C, E, F, G, H, I，它们被分为一等价类。

• 代表元素：F，该状态和其他状态的后缀字符串在 $L$ 中的结果：

  • $Fa, Gg$：$L$ 中，等价
  • $Fi, Hh$：$L$ 中，等价

  故状态 F 等价于状态 B, A, C, D, E, G, H, I，它们被分为一等价类。

• 代表元素：H，该状态和其他状态的后缀字符串在 $L$ 中的结果：

  • $Ha, Ib$：$L$ 中，等价

  故状态 H 等价于状态 B, A, C, D, E, F, G, I，它们被分为一等价类。

如此一来，我们将传统的 DFA 状态划分为了一共六个等价类，它们所代表的最小化 DFA 分别为：

可以看出，经过最小化之后的 DFA 只有 $6$ 个状态，小于原来的 $10$ 个状态。

总结

使用 Myhill-Nerode 定理最小化 DFA 能够显著减少 DFA 状态数目，从而提高内存和时间效率。它基于等价关系的概念，能够将 DFA 中不同状态划分到不同的等价类中，从而得到最小的 DFA。通过了解等价关系的定义以及代表元素选择的方法，我们能够更灵活地应用 Myhill-Nerode 定理实现 DFA 最小化。