门| GATE-CS-2016（套装2）|问题 11

这道题目是关于最大篇幅匹配（Longest Common Subsequence）的问题。我们需要找到两个字符串的最大公共子序列（LCS）的长度。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们可以创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示第一个字符串的前i个字符和第二个字符串的前j个字符中的LCS的长度。 对于每对(i,j)，我们有以下几种情况：

• 如果第一个字符串的第i个字符和第二个字符串的第j个字符相同，则LCS的长度增长1，即dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 如果第一个字符串的第i个字符和第二个字符串的第j个字符不同，则LCS的长度不变，即dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

对于所有的i和j对应的dp[i][j]，我们需要计算长度最大的值。

以下是使用Python解决这个问题的代码片段：

def LCS_length(X, Y):
    m, n = len(X), len(Y)
    dp = [[0 for j in range(n+1)] for i in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    return dp[m][n]

在这个函数中，X和Y分别是第一个字符串和第二个字符串，m和n是它们的长度。我们首先创建一个二维数组dp，并将其所有值初始化为0。

然后，我们使用两个嵌套的循环来遍历X和Y中的所有字符，并使用上面提到的公式来填充dp数组。

最后，我们返回dp[m][n]，即完整的LCS的长度。

这个算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别是X和Y的长度。空间复杂度为O(mn)，因为我们需要使用一个大小为(m+1)×(n+1)的dp数组。