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📜  主理想域 (PID) |离散数学

📅  最后修改于: 2021-09-22 10:45:30             🧑  作者: Mango

先决条件：离散数学中的环

介绍 ：
代数结构：配备 1 个或多个二元运算的非空集 G 称为代数结构。
例子 –

  • (N,+) 其中 N 是一组自然数并且
  • (R, *) R 是一组实数。
    这里“ * ”指定乘法运算。

戒指 ：
需要一个同时处理两个二元运算的代数结构来形成一个环。如果满足以下条件，则非空集合 R 与乘法和加法运算(通常)一起称为环： 

1. (R,+) is an Abelian Group (satisfies G1, G2, G3, G4 & G5)
2. (R, *) is a Semi Group. (satisfies G1 & G2)
3. Multiplication is distributive over addition :
     (a) Left Distributive :  a*(b+c) = (a*b) + (a*c) ; ∀ a, b, c ∈ R
     (b) Right Distributive : (b+c)*a = (b*a) + (c*a) ; ∀ a, b, c ∈ R
  1. 团体 –
    一个代数结构 (G , o) 其中 G 是一个非空集 & ‘o’ 是一个定义在 G 上的二元运算，如果二元运算“o”满足以下性质，则称为群：
    G1。闭包： a ∈ G ,b ∈ G => aob ∈ G ； ∀ a,b ∈ G
    G2。结合性： (aob)oc = ao(boc) ; ∀ a,b,c ∈ G。
    G3。单位元： G 中存在 e 使得 aoe = eoa = a ； ∀ a ∈ G(示例 – 对于加法，恒等式为 0)
    G4。逆存在：对于每个元素a∈G；存在逆(a-1)∈ G 使得： aoa-1 = a-1oa = e。
  2. 阿贝尔集团——
    代数结构 (G , o) 其中 G 是非空集 & ‘o’ 是定义在 G 上的二元运算，如果它是一个群(即，它满足 G1、G2、G3 和 G4)，则称为阿贝尔群并且还满足：
    G5 : 交换式： aob = boa ∀ a,b ∈ G
  3. 半组 –
    代数结构 (G , o) 其中 G 是非空集 & ‘o’ 是在 G 上定义的二元运算，如果它仅满足 2 个属性：G1(闭包)和 G2(结合性)，则称为半群。
    我们通常将环结构写为：(R, +, *) 或简称为 R。
    注意：可加恒等式 0 是唯一的 & 称为环 R 的零元素。
  4. 交换环 –
    (R,+, *) 是可交换的：这意味着乘法 (*) 是可交换的。

积分域：
环 (R, +, *) 称为 的积分域： 

1. (R,+,*)  is commutative.
2. (R,+,*) is a ring with unit element.
3. It is a ring without zero divisors.
  1. (R,+, *) 是可交换的 –
    表示乘法 (*) 是可交换的。
  2. (R,+,*) 是一个具有单位元素的环 –
    这意味着存在一个单位元素，比如 1∈R，使得：
    a*1 = 1*a = a ∀ a ∈ R
  3. R 是一个没有零因数的环 –
    a*b = 0 =>a = 0 或 b = 0 其中 a, b ∈ R

校长理想：
令 (R,+, *) 是单位为 1 的交换环。
设 a ∈R，则集合 = { ra : r ∈ R 是一个理想}，称为 a 生成的主理想。

主要理想域(PID)：
如果满足以下条件，则环 (R,+, *) 称为主理想域：

  • R 是一个积分域。
  • R 中的每个理想都是主要的。

如果环的每个单边理想都是理想的，则称其为初级理想环。主理想域是一个没有零因数的主环。
注：整体闭域 ⊂ 积分域 ⊂ 交换环 ⊂ 环

问：显示每个字段都是一个 PID
解决方案。设 F 是一个字段。因此，F 也是一个整数域。此外，F 会有一些统一元素：a*1 = 1*a = a ∀ a ∈ F。因此，F 是具有统一性的整数域。
每个领域只有 2 个理想。所以 F 有 2 个理想：{0} & F 其中 –
(i) {0} = 0*F
(ii) F = 1*F
所以，F 只有 2 个理想，它们可以用以下形式表示： { f*a : f ∈ R 是一个理想，a ∈ F }
所以，每个 F 都是一个 PID
注意：反过来可能不正确。

Q. 证明整数环 Z 是一个 PID
回答。我们知道整数集 Z 是一个整数域。
设 J 是 Z 中的一个理想。我们证明 J 是一个主理想。
情况 1。 –如果 J = {0}，则它是主要理想，因此是结果。
情况 2. –如果 J ≠ {0}，让 0 ≠ x ∈ J，那么对于某些正 x，-x = (-1) x ∈ J。
因此，J 包含至少一个正整数。设 a 为 J 中最小的正整数。
我们声称， J = { ra : r ∈Z }
对于 x ∈ J ，使用除法算法，
x = qa + r ; 0 ≤ r ≤ a ； q∈Z
但 J 是一个理想且 a ∈ J, q ∈ Z
因此，qa ∈ J 和 x – qa ∈ J ⇒ r ∈ J。
但是，a 是 J 中满足 0 ≤ r ≤ a 的最小正整数。因此，我们必须有 r = 0。
所以， x = qa ，即，
J = { qa : q ∈ Z}
因此 Z 是一个 PID

问：证明：PID 是唯一的分解域。
证明：非零理想集合中的反向包含关系在经典逻辑中是有根据的。
让 A 表示理想 (a) 的子集，它们是有限数量(可能为零)的最大主理想的乘积。如果每个 (t) 正确包含 (x) 都可以分解为每个有效理想 (x)(0) 的最大值，那么 (x) 也可以。 (要么 (x) 是极大值/不可约的，要么它分解为 (s)(t)，其中 s 和 t 都是非单位；根据假设，(s) 和 (t) 分解为极大值，所以 (x) )。结果，因为 A 是一个归纳集，它包含每个理想 (x)(0)，即，x 可以被分解为不可约的。

对于因式分解的唯一性，我们首先注意到如果 p 不可约且 p|ab，则 p|a 或 p|b。 (因为 R/(p) 是一个域，因此更重要的是一个整数域，如果 a≡0modp 为真，则 a≡0modp 或 b≡0modp 也为真。)。如果 q i ,p 1 p 2 …p m =q 1 q 2 …q n是同一元素的不可约的两个因式分解，则 p1 将不可约的一个除以，在这种情况下 (p 1 )=(q i ) 和每个都是另一个的单位倍，这意味着我们可以取消双方的 p 1并通过归纳进行争论。