数学 |概率分布集 1（均匀分布）

先决条件 –随机变量

在概率论和统计学中，概率分布是一种数学函数，可以被认为是提供实验中不同可能结果发生的概率。例如，如果随机变量$X$用于表示抛硬币的结果(“实验”)，那么概率分布$X$将取值为 0.5 $X$ = 头，0.5 为$X$ = 尾巴(假设硬币是公平的)。
概率分布分为两类——

1. 离散概率分布——如果概率是在离散随机变量上定义的，该变量只能取一组离散值，则该分布被称为离散概率分布。例如，掷骰子的事件可以用离散随机变量表示，其概率分布使得每个事件的概率为$\:\frac{1}{6}$ .
2. 连续概率分布——如果概率是在一个连续随机变量上定义的，该变量可以取两个数字之间的任何值，那么该分布被称为连续概率分布。例如，某一天的温度可以用一个连续的随机变量表示，相应的概率分布称为连续的。

累积分布函数–
类似于概率密度函数，累积分布函数$F(x)$实值随机变量 X 的，或只是分布函数$X$评估于$x$ , 是概率$X$将取一个小于或等于的值$x$ .
对于离散随机变量，
$F(x) = P(X\leq x) = \sum \limits_{x_0\leq x} P(x_0)$
对于连续的随机变量，
$F(x) = P(X\leq x) = \int \limits_{-\infty}^{x} f(x)dx$

均匀概率分布 –

均匀分布，也称为矩形分布，是一种连续概率分布。
它有一个连续的随机变量$X$限于有限区间$[a,b]$这是概率函数$f(x)$在这个区间有一个恒定的密度。
均匀概率分布函数定义为-

    $\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a\leq x \leq b\\ 0, & \text{otherwise}\\ \end{cases} \]$

期望值或平均值——使用期望的基本定义，我们得到——

    $\begin{align*} E(x) &= \int \limits_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx&\\ &= \int \limits_{a}^{b} \frac{x}{b-a} dx&\\ &= \frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} x dx&\\ &= \frac{1}{b-a} \Big[ \frac{x^2}{2}\Big]_{a}^{b}&\\ &= \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)}&\\ &= \frac{b + a}{2}&\\ \end{align*}$

方差-使用方差公式- $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

    $\begin{align*} E(x^2) &= \int \limits_{-\infty}^{\infty} x^2f(x) dx&\\ &= \int \limits_{a}^{b} \frac{x^2}{b-a} dx&\\ &= \frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} x^2 dx&\\ &= \frac{1}{b-a} \Big[ \frac{x^3}{3}\Big]_{a}^{b}&\\ &= \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)}&\\ &= \frac{b^2 + a^2 + ab}{3}&\\ \end{align*}$

使用这个结果我们得到 –

    $\begin{align*} V(x) &= \frac{b^2 + a^2 + ab}{3} - \Big( \frac{b+a}{2}\Big) ^2 &\\ &= \frac{b^2 + a^2 + ab}{3} - \frac{b^2+a^2+2ab}{4} &\\ &= \frac{4b^2 + 4a^2 + 4ab - 3b^2 - 3a^2 - 6ab}{12}&\\ &= \frac{(b-a)^2}{12}&\\ \end{align*}$

标准差——根据标准差的基本定义，

    $\begin{align*} \sigma &= \sqrt{V(x)} \\&= \frac{b-a}{2\sqrt{3}} \end{align*}$

• 示例 1 –已知在一根铜线上测量的电流(以 mA 为单位)在区间 [0, 25] 上遵循均匀分布。找到概率密度函数的公式$f(x)$随机变量$X$代表电流。计算分布的均值、方差和标准差，求累积分布函数$F(x)$ .
• 解决方案 –第一步是找到概率密度函数。对于均匀分布， $f(x) = \frac{1}{b-a}$ ， 在哪里$b,\:a$分别是上限和下限。

      $\therefore \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{25-0} = 0.04, & 0\leq x\leq 25 \\ 0, & \text{otherwise} \\ \end{cases} \]$

  期望值、方差和标准差是——
  $E(x) = \frac{b+a}{2} = \frac{25+0}{2} = 12.5 mA\\\\ V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(25-0)^2}{12} = 52.08 mA^2\\\\ \text{Standard Deviation} = \sigma = \sqrt{V(x)} = \frac{25}{2\sqrt{3}} = 7.21 mA$
  累积分布函数给出为-
  $F(x) = \int \limits_{-\infty}^{x} f(x) dx$
  可以定义三个区域的 CDF， $x<0,\: 0\leq x\leq 25,\:25 < x$

      $\[ F(x) = \begin{cases} 0, &x<0\\ \frac{x}{25}, &0\leq x\leq 25\\ 1, &25<x \end{cases} \]$

参考 –

概率分布 – 维基百科
均匀概率分布 – statelect.com