数学 | 概率分布集 4（二项式分布）

简介

在概率论和统计学中，二项式分布（Binomial Distribution）是一种离散概率分布，它描述了在$n$个独立的是/非试验中成功的次数，其中每次试验的成功概率为$p$。它的名称来自于二项式定理。

二项式分布是最简单的正态近似分布之一，常用于建立二分类问题的模型。它的累积分布函数可以用来估计二分类问题的置信水平。二项式分布也在金融领域中有广泛应用，如在资产定价中用于定期净现值分析，用于估计公司的风险和收益。

公式和符号

二项式分布的概率质量函数为：

$$ f(k;n,p) = \Pr(X = k) = {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}, \quad\text{其中} \quad {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

其中，$x$表示成功的次数，$n$表示试验次数，$p$表示成功的概率，$(1-p)$表示失败的概率。

实现

Python是一种广泛使用的编程语言，它拥有丰富的数学库，如：NumPy，SciPy和matplotlib。下面是使用Python NumPy库实现的二项式分布的代码示例。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def binomial_distribution(n, p):
    """
    计算二项式分布的概率质量函数
    n: 试验次数
    p: 成功的概率
    """
    # 定义k的取值范围
    k = np.arange(0, n + 1)
    # 计算二项式分布的概率质量函数
    binom = np.power(p, k) * np.power(1 - p, n - k) * np.math.factorial(n)/(np.math.factorial(k) * np.math.factorial(n - k))
    return k, binom

# 示例：试验2次，成功概率为0.5
k, b = binomial_distribution(2, 0.5)

# 绘制概率质量函数的柱状图
plt.bar(k, b)
plt.xlabel('Successes')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('Binomial Distribution: n=2, p=0.5')
plt.show()

应用

• 机器学习中的分类问题
• 风险评估和收益分析
• 资产定价分析

结论

二项式分布是描述$n$次独立的是/非试验中成功的次数的概率分布。它有丰富的应用场景，如机器学习中的分类问题，风险评估和资产定价分析。在Python中，可以使用NumPy库来实现二项式分布的计算。