数学 |概率分布集 4（二项式分布）

之前的文章讨论了一些连续概率分布。本文介绍了其中一种不是连续而是离散的分布，即二项式分布。

介绍 –

要了解二项式分布，我们必须首先了解什么是伯努利试验。伯努利试验是一种只有两种可能结果的随机试验。这两种结果通常被称为成功和失败，但可以给它们贴上任何必要的标签。每个伯努利试验或随机试验相互独立。
例如，考虑这样一个场景，我们需要找出偶数出现在掷骰子上的概率。
如果 E = 偶数出现，则
$P(E) = \frac{3}{6} = 0.5 \text{ and, }\\ P(\bar{E}) = 1 - \frac{3}{6} = 0.5$
这里$P(E)$ (或简称为“p”)可以称为成功的概率和$P(\bar{E})$ (或简称为“q”)可称为故障概率。请注意，
$p + q = 1$ ，因为只有两种可能的结果。
现在考虑重复实验，我们试图找到成功的概率。我们得到，
$p = 0.5$
这与第一个实验的概率相同。这是因为这两个实验是独立的，即一个实验的结果不会影响另一个。
现在我们知道了什么是伯努利试验，我们可以继续了解二项式分布。

随机实验由 n 个伯努利试验组成，使得 1. 试验是独立的。 2. 每个试验只产生两种可能的结果，标记为“成功”和“失败”。 3. 每次试验成功的概率，用 p 表示，保持不变。等于导致成功的试验次数的随机变量 X 是一个二项式随机变量，其参数为 0 < p < 1 且 n = 1, 2, …。概率质量函数由下式给出- $f(x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$

概率质量函数-

上述概率质量函数是一个合法的概率函数。

    $\begin{equation*} \begin{split} \sum\limits_{x=0}^{n} f(x) &= \sum\limits_{x=0}^{n} \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\\ &=(p+(1-p))^n\\ &=(1)^n\\ &=1 \end{split} \end{equation*}$

请注意，在上面的公式中，如果我们让 n=1，我们会得到与伯努利试验相同的结果。这里 x 可以取值 0 或 1(因为在一个实验中成功的次数可以是 0 或 1)。
$\text{P(Success)} = \binom{1}{1} p^1 (1-p)^{1-1} = p\\\\ \text{P(Failure)} = \binom{1}{0} p^0 (1-p)^{1-0} = 1-p = q\\\\ \text{Here, }p+q =1$

期望值 –

要找到二项式分布的期望值，让我们首先找出伯努利试验的期望值。设 p 和 q 是 Success(1) 和 Failure(0) 的概率。
$\text{E[BT]} = p*1 + q*0 = p$
由于二项式分布有 n 次伯努利试验，因此期望值乘以 n。这是因为每个实验都是独立的，随机变量总和的期望值等于它们各自的期望值的总和。此属性也称为期望的线性度。
$E[X] = E[BT_1] +E[BT_2]+....+E[BT_n] = nE[BT] = np$

方差和标准差 –

二项式分布的方差可以用类似的方式找到。对于 n 个独立的随机变量，

$Var[X_1 + X_2 + .. + X_n] = Var[BT_1] + Var[BT_2] + .. + Var[BT_n] = nVar[BT]\\$
这里，Var[BT] 是 1 次伯努利试验的方差。

    $\begin{equation*} \begin{split} \text{Var[BT]} &= E[X^2] - E[X]^2\\ &= (p*(1^2) + q*(0^2)) - p^2\\ &= p - p^2\\ &= p(1-p)\\ &= pq \end{split} \end{equation*}$

使用此结果找出二项式分布的方差。

$\text{Var[X]} = n\text{Var[BT]} = npq$

分布的标准差–

    $\begin{equation*} \begin{split} \sigma &= \sqrt{Var[X]}\\ &= \sqrt{npq}\\ \end{split} \end{equation*}$

• 示例 –一家航空公司为一架可容纳 60 名乘客的飞机出售 65 张机票。这样做是因为有些人可能不会出现。一个人没有出现在航班上的概率是 0.1。所有乘客都独立行事。求航空公司不必为多余的人单独安排机票的事件发生的概率。
• 解决方案 –如果出现超过 60 人，则航空公司必须为超出人数的人数重新安排机票。设 X 是表示出现的乘客数量的随机变量。我们必须找到 X <=60 的事件的概率。
  令 p 为乘客出现的概率。 p = 1 – 0.1 = 0.9。
  q = 0.1

      $\begin{equation*} \begin{split} P(X\leq 60) &= 1-P(X\geq 61 )\\ &= 1 -(P(X=61) + P(X=62)+ P(X=63) \\ &\hspace{2em}+ P(X=64) + P(X=65))\\ &= 1 -(\binom{65}{61} p^{61} q^4+ \binom{65}{62} p^{62} q^3 + \binom{65}{63} p^{63} q^2 \\ &\hspace{2em}+ \binom{65}{64} p^{64} q^1 +\binom{65}{65} p^{65} q^0)\\ &= 1 -(0.1095 +0.0636 + 0.0272 + 0.0077 + 0.0011)\\ &= 1 - 0.2091\\ &= 0.7909 \end{split} \end{equation*}$

参考 –

二项分布
Stattrek.com