数学 | 概率分布集 4 （二项式分布）

简介

在概率论与数理统计中，二项式分布（Binomial Distribution）是一种离散型概率分布，用于描述一次实验中成功的次数。它是一类常见的二项试验的离散概率分布。

一个二项试验是指，重复进行固定次数的独立同分布的伯努利试验，在每次试验中，只有两种可能的结果：成功或失败。成功的概率是相同的，并且在每次试验中保持不变。

在二项分布中，n 表示试验的次数，p 表示每次试验中成功的概率，x 表示试验中成功的次数，则二项分布的概率质量函数可以表示为：

$$ P(X = x) = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} $$

其中，${n \choose x}$ 表示从 n 次试验中取出 x 个成功的组合数。

二项分布在实际问题中应用十分广泛，例如在制造业中检验产品出货数量是否符合规定要求，或者在市场调查中统计产品销量等等。

实现

在 Python 中，可以使用 scipy 库的 binom 类来进行二项分布的计算和模拟。

from scipy.stats import binom

# 求 P(X = x)
n = 10     # 试验次数
p = 0.5    # 成功概率
x = 3      # 成功次数
probability = binom.pmf(x, n, p)
print("P(X = {}): {:.4f}".format(x, probability))

# 模拟生成样本数据
samples = binom.rvs(n, p, size=1000)

以上代码演示了如何求解二项分布的概率质量函数和生成样本数据。

可视化

可以使用 matplotlib 库对二项分布进行可视化，例如绘制概率质量函数和累计分布函数的图像。

import matplotlib.pyplot as plt

# 绘制概率质量函数图像
x = range(n+1)
pmf = binom.pmf(x, n, p)
plt.stem(x, pmf, use_line_collection=True)
plt.title("Binomial Distribution (n={}, p={})".format(n, p))
plt.xlabel("Number of successes")
plt.ylabel("Probability")
plt.show()

# 绘制累计分布函数图像
x = range(n+1)
cdf = binom.cdf(x, n, p)
plt.plot(x, cdf)
plt.title("Cumulative Distribution Function")
plt.xlabel("Number of successes")
plt.ylabel("Probability")
plt.show()

以上代码将生成概率质量函数和累计分布函数的图像。

概率质量函数：

累计分布函数：

总结

本文介绍了二项分布的基本概念、概率质量函数、实现方法和可视化技巧。二项分布是一种常见的概率分布，可以用于描述独立同分布的伯努利试验的结果。掌握二项分布的基本原理和计算技巧，可以提高程序员在实际问题中的数据分析和建模能力。