之前的文章讨论了一些连续概率分布。本文介绍了其中一种不是连续而是离散的分布,即二项式分布。
介绍 –
要了解二项式分布,我们必须首先了解什么是伯努利试验。伯努利试验是一种只有两种可能结果的随机试验。这两种结果通常被称为成功和失败,但可以给它们贴上任何必要的标签。每个伯努利试验或随机试验相互独立。
例如,考虑这样一个场景,我们需要找出偶数出现在掷骰子上的概率。
如果 E = 偶数出现,则
这里 (或简称为“p”)可以称为成功的概率和 (或简称为“q”)可称为故障概率。请注意,
,因为只有两种可能的结果。
现在考虑重复实验,我们试图找到成功的概率。我们得到,
这与第一个实验的概率相同。这是因为这两个实验是独立的,即一个实验的结果不会影响另一个。
现在我们知道了什么是伯努利试验,我们可以继续了解二项式分布。
随机实验由 n 个伯努利试验组成,使得 1. 试验是独立的。 2. 每个试验只产生两种可能的结果,标记为“成功”和“失败”。 3. 每次试验成功的概率,用 p 表示,保持不变。等于导致成功的试验次数的随机变量 X 是一个二项式随机变量,其参数为 0 < p < 1 且 n = 1, 2, …。概率质量函数由下式给出-
概率质量函数-
上述概率质量函数是一个合法的概率函数。
请注意,在上面的公式中,如果我们让 n=1,我们会得到与伯努利试验相同的结果。这里 x 可以取值 0 或 1(因为在一个实验中成功的次数可以是 0 或 1)。
期望值 –
要找到二项式分布的期望值,让我们首先找出伯努利试验的期望值。设 p 和 q 是 Success(1) 和 Failure(0) 的概率。
由于二项式分布有 n 次伯努利试验,因此期望值乘以 n。这是因为每个实验都是独立的,随机变量总和的期望值等于它们各自的期望值的总和。此属性也称为期望的线性度。
方差和标准差 –
二项式分布的方差可以用类似的方式找到。对于 n 个独立的随机变量,
这里,Var[BT] 是 1 次伯努利试验的方差。
使用此结果找出二项式分布的方差。
分布的标准差–
- 示例 –一家航空公司为一架可容纳 60 名乘客的飞机出售 65 张机票。这样做是因为有些人可能不会出现。一个人没有出现在航班上的概率是 0.1。所有乘客都独立行事。求航空公司不必为多余的人单独安排机票的事件发生的概率。
- 解决方案 –如果出现超过 60 人,则航空公司必须为超出人数的人数重新安排机票。设 X 是表示出现的乘客数量的随机变量。我们必须找到 X <=60 的事件的概率。
令 p 为乘客出现的概率。 p = 1 – 0.1 = 0.9。
q = 0.1
参考 –
二项分布
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