我们强烈建议参考下面的帖子作为先决条件。
条件概率
贝叶斯公式
下面是贝叶斯公式。
该公式提供了 P(A|B) 和 P(B|A) 之间的关系。它主要来源于上一篇文章中讨论的条件概率公式。
考虑以下条件概率 P(A|B) 和 P(B|A) 的公式
—-(1)
—-(2)
由于 P(B ∩ A) = P(A ∩ B),我们可以将第一个公式中的 P(A ∩ B) 替换为 P(B|A)P(A)
替换后,我们得到给定的公式。
产品规则
产品规则规定
(1)
所以 X 和 Y 都会出现的联合概率等于两项的乘积:
从产品规则:
意味着P(X|Y) = P(X)/P(Y)
意味着P(X|Y) = 1
链式法则
当上述乘积规则被推广时,我们导致链式规则。让有 n 事件。然后,联合概率由下式给出
(2)
贝叶斯定理
从产品规则来看, 和 .作为和是一样的。
(3)
在哪里 .
示例:框 P 有 2 个红球和 3 个蓝球,框 Q 有 3 个红球和 1 个蓝球。一个球的选择如下:
(i) Select a box
(ii) Choose a ball from the selected box such that each ball in
the box is equally likely to be chosen. The probabilities of
selecting boxes P and Q are (1/3) and (2/3), respectively.
假设在上述过程中选择的球是红球,它来自盒子 P 的概率是 (GATE CS 2005)
(一) 4/19
(乙) 5/19
(C) 2/9
(四) 19/30
解决方案:
R –> 选择红球事件 B –> 选择蓝球事件 P –> 选择框 P 的事件 Q –> 选择框 Q 的事件 我们需要计算 P(P|R) ? P(R|P) = 从盒子中选出的一个红球 P = 2/5 P(P) = 1/3 P(R) = P(P)*P(R|P) + P(Q)*P( R|Q) = (1/3)*(2/5) + (2/3)*(3/4) = 2/15 + 1/2 = 19/30 将以上值放入贝叶斯公式 P(P |R) = (2/5)*(1/3) / (19/30) = 4/19
练习一家公司从 X 公司购买 70% 的计算机,从 Y 公司购买 30%。X 公司每 5 台计算机生产 1 台故障计算机,Y 公司每 20 台计算机生产 1 台故障计算机。一台电脑被发现有问题,它是从 X 公司购买的概率是多少?